Основні матричні співвідношення врівноваження геодезичних мереж параметричним способом

У будь-якому випадку геодезичної мережі рівняння поправок можна представити у матричному вигляді

, (8)

де – матриця коефіцієнтів при поправках до висот невідомих точок; – вектор параметрів – поправок до наближених значень висот невідомих точок; – вектор вільних членів; – вектор поправок до виміряних перевищень.

В системі (8) кількість невідомих є меншою за кількість рівнянь, тому ця система (8) не має єдиного розв‘язку. Для знаходження розв‘язку (8) задають додаткову умову – знайти значення невідомих таким чином, щоб сума врівноважених квадратів поправок до вимірів була мінімальною, тобто

. (9)

З рівняння (8) виразимо вектор і підставимо його в наведений вище вираз мінімізації, отримаємо

(10)

Який після розкриття дужок у (10) набуде вигляду:

. (11)

Для відшукання вектора невідомого необхідно вираз (11) продиференціювати по , а отриманий результат прирівняти до нуля, тобто

. (12)

Виконавши елементарні математичні перетворення, одержимо остаточний результат

. (12)

Попередня оцінка (апріорна) точності геодезичної мережі, виконується з аналізу коваріаційної матриці вектора невідомих . Застосовуючи правило перетворення коваріацій до (12), отримаємо

(13)

На головній діагоналі матриці будуть розташовані квадрати середніх квадратичних помилок висот пунктів у найгіршому випадку, тобто коли усі без винятку виміри будуть виконуватись з максимально допустимою помилкою. Слід відразу зауважити, що таку оцінку точності можна робити тільки у випадку, якщо ваги для ходів нівелювання вибирають за формулою (7) та з використанням табл.1. При цьому розмірність діагональних елементів матриці – мм².

Оцінка точності після врівноваження (апостеріорна) тісно пов‘язана з попередньою оцінкою точності. Коваріаційна матриця невідомих після врівноваження має такий вигляд:

, (14)

де – середня квадратична помилка одиниці ваги.

, (15)

де – кількість надлишкових перевищень, – кількість виміряних перевищень у мережі, – кількість точок з невідомими висотами. Ще раз слід нагадати, що квадрати середніх квадратичних помилок висот точок після врівноваження розміщені на головній діагоналі матриці (14).

Крім оцінки точності висот точок можна зробити оцінку точності виміряних перевищень після врівноваження. Для цього знову скористаємось правилом перетворення коваріацій і застосуємо його до рівняння (8), отримаємо

. (16)

З врахуванням (16) середню квадратичну помилку -того перевищення в мережі після врівноваження можна обчислити з співвідношення

, (17)

де – діагональні елементи матриці.

Висновок про якість вимірів у всій мережі можна зробити з порівняння попередньої оцінки точності та оцінки точності після врівноваження. Оскільки при попередній оцінці точності ми отримуємо оцінку точності за максимально несприятливих умов спостережень, тому якщо оцінка точності після врівноваження буде гіршою ніж попередня, то це буде свідчити про те, що в вимірах присутні досить суттєві помилки. З врахуванням цього, можна записати таку нерівність

Оминаючи нескладні математичні спрощення, отримаємо таку нерівність

. (18)

Таким чином, з використанням (18) можна швидко дати відповідь чи відповідають наші виміри за точністю вимогам до нівелювання даного класу (умова (18) виконується) чи ні. Якщо умова (18) не виконується, то можна сказати, що виміри були виконані незадовільно.

Дата добавления: 2015-11-14