Приклад врівноваження мережі нівелювання

Наведемо приклад врівноваження мережі нівелювання четвертого класу параметричним методом. В табл.2 наведено вихідні дані мережі нівелювання – ходи, їх напрямки, виміряні перевищення, довжини ходів.

Таблиця 2

Вихідні дані та попередні обчислення до врівноваження мережі нівелювання IV класу

№ ходу	Хід	Виміряне перевищення, (m)	Довжина ходу, , км	Вага ходу	Обчислене перевищення ,м	Вільні члени , мм
від точки	до точки
	D	RpA	1.343	10.4	2.40	1.343	0.0
	D	E	-15.130	9.7	2.58	-15.163	-33.0
	D	B	-36.606	16.6	1.51	-36.651	-45.0
	D	RpC	-35.754	9.6	2.60	-35.761	-7.0
	RpA	B	-37.994	17.7	1.41	-37.994	0.0
	B	RpC	0.858	18.0	1.39	0.890	32.0
	E	RpA	16.506	13.0	1.92	16.506	0.0
	E	B	-21.472	19.6	1.28	-21.488	-16.0

Н_RpA=119.124 Н_RpC=82.020

mН_RpA=2.0см mН_RpC=2.0см

На рис.2. наведено схему мережі, що відповідає даним, наведеним у табл. 2.

Рис.2. Схема мережі нівелювання (стрілочками вказано напрямки ходів нівелювання, квадратиками позначено репери – точки з відомими висотами, кружечками вказано точки з невідомими висотами).

4.1. Аналіз вихідної інформації, попередні обчислення в мережі

Розглядаючи мережу, наведену на рис.2, встановлюємо кількість рівнянь поправок, кількість невідомих та кількість надлишкових вимірів:

ü кількість рівнянь поправок дорівнює кількості виміряних перевищень, ;

ü кількість невідомих (параметрів) дорівнює кількості точок з невідомими висотами ;

ü кількість надлишкових вимірів .

Позначимо точні (врівноважені) висоти невідомих точок. Нехай

– висота точки ,

– висота точки ,

– висота точки .

Наближені значення цих параметрів можна обчислити, використовуючи відомі висоти реперів та значення виміряних перевищень, отже

– наближене значення висоти точки ;

– наближене значення висоти точки .

– наближене значення висоти точки .

4.2. Складання рівнянь поправок у загальному вигляді

Наступним кроком врівноваження мережі є складання рівнянь поправок виміряних перевищень (в параметричному методі кількість цих рівнянь завжди дорівнює кількості вимірів). Суть кожного з таких рівнянь полягає у записі виразу (функціонального зв’язку), який би пов‘язував невідомі параметри з даним виміром, тобто необхідно виразити кожен вимір через невідомі параметри. Розглядаючи мережу, наведену на рис.1 можна записати систему рівнянь, яка наведена у табл. 3. Більш детальніша інформація по теорії складання рівнянь поправок в мережах нівелювання наведена у розділі “ Рівняння поправок у мережах нівелювання ” цих методичних вказівок.

Таблиця 3

Складання рівнянь поправок у загальному вигляді

Рівняння зв’язку врівноважених перевищень з врівноваженими висотами точок в мережі	Рівняння поправок
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Де – виправлене (врівноважене) перевищення; – виміряне перевищення; – врівноважене значення висоти невідомої точки; – наближене значення висоти невідомої точки; – поправка в наближене значення висоти невідомої точки.

В лівій частині табл. 2 записані «ідеальні» рівняння поправок – тобто такі рівняння, які б виконувались при наявності виправлених перевищень та врівноважених висот. В нашому випадку ми не знаємо жодного з цих значень, проте є зв‘язок врівноважених і виміряних перевищень та зв’язок між врівноваженими висотами невідомих точок та наближеними значеннями цих висот

– врівноважене значення перевищення дорівнює сумі виміряного перевищення та поправки до нього ;

– врівноважене значення висоти точки дорівнює сумі наближеного значення висоти цієї точки та поправки до неї .

Виходячи з наведених міркувань, рівняння зв’язку врівноважених перевищень з врівноваженими висотами можна записати у такому вигляді, як це показано в табл.2 (права частина).

Наступним кроком є представлення рівнянь поправок у зручній для матричного запису формі, для цього перепишемо праву частину рівнянь табл. 2 у такому вигляді.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) , (19)

6) ,

7) ,

8) .

У лівій частині рівнянь залишимо поправки до виміряних перевищень, праву частину рівнянь розділимо на дві групи – невідомі (, , ) та вільні члени (вирази у дужках).

4.3. Складання рівнянь поправок у матричному вигляді

Останню систему рівнянь можна представити у матричній формі (8) – , де:

–	вектор невідомих. Елементами цього вектора є поправки у наближені значення висот невідомих точок. Кількість елементів вектора дорівнює кількості точок з невідомою висотою в мережі .

–	матриця коефіцієнтів при невідомих. Елементами цієї матриці є коефіцієнти при поправках у наближені висоти точок у рівняннях поправок (19). Кількість рядочків цієї матриці завжди дорівнює кількості вимірів у мережі (у мережах нівелювання – кількості виміряних перевищень). Кількість стовпців цієї матриці дорівнює кількості невідомих у мережі (в мережах нівелювання – кількості точок, висоти яких необхідно визначити).
Кожен рядок матриці заповнюється виходячи з аналізу відповідного рівняння поправок, тобто, щоб заповнити перший рядочок цієї матриці використовують перше рівняння поправок, для заповнення другого рядочка – друге рівняння і т.д. Перед тим як заповнювати рядки цієї матриці необхідно розглянути структуру вектора невідомих . Як бачимо, першим елементом цього вектора є , звідси – у першому стовпці матриці слід записувати коефіцієнти при невідомій , другий елемент вектора є , тобто у другому стовпці матриці потрібно записувати коефіцієнти при невідомій і т.д. На цій підставі підпишемо кожен стовпець матриці (див. опис матриць) назвою тієї невідомої, коефіцієнти при якій слід виписувати у цей стовпець (перший стовпець – , другий – , третій – ). Далі послідовно розглядаємо кожне рівняння поправок і заповнюємо відповідні рядочки матриці . Наприклад, у першому рівнянні поправок (19) присутня лише одна невідома , коефіцієнт біля цієї невідомої (–1), тому у першому рядочку у стовпці, який відповідає коефіцієнту при невідомій записуємо (+1), а у стовпчиках, які відповідають коефіцієнтам при невідомих та записуємо нулі (оскільки вони не присутні у цьому рівнянні). У другому рівнянні поправок присутні дві невідомих та , коефіцієнти при цих невідомих (–1) та (+1) відповідно, тому у другому рядку матриці записуємо такі коефіцієнти: при – (–1), при – (+1), при – (0). Аналогічні операції повторюємо для кожного рівняння поправок, поступово заповнюючи матрицю .
–	вектор поправок. Елементами цього вектора є поправки до виміряних перевищень у мережі. Кількість рядочків цього вектора дорівнює кількості вимірів в мережі .

– вектор вільних членів. Кількість елементів вектора вільних членів завжди дорівнює кількості рівнянь поправок (кількості вимірів). Елементами цього вектора є значеннями виразів у дужках відповідних рівнянь поправок (19). Наведемо схему обчислення елементів цього вектора для нашої мережі.

Слід зауважити, що розмірність елементів вектора невідомих та елементів вектора поправок буде такою ж як і розмірність вектора вільних членів. Тобто, якщо для врівноваження ми використовуємо вектор вільних членів , розмірність елементів якого буде виражена в метрах, то і розмірність елементів вектора невідомих та вектора поправок також буде в метрах.

4.4. Складання вагової матриці

Вагову матрицю складаємо згідно співвідношення (7), наведеного у другому пункті даних методичних вказівок. Якщо б мережа нівелювання складалась з ходів різних класів, то для обчислення ваги кожного ходу за формулою (7) необхідно було б використовувати різні значення коефіцієнта ,залежно від того якого класу цей хід. Згідно наших вихідних даних усі ходи нівелювання IV класу, тому для усіх цих ходів . Нехай коефіцієнт , обчислимо ваги усіх ходів, використовуючи значеннями довжин ходів, які наведені у п‘ятому стовпці таблиці вихідних даних (табл.2).

Вагова матриця є квадратною матрицею, кількість рядочків якої дорівнює кількості її стовпців і дорівнює кількості вимірів. У випадку незалежних вимірів вагова матриця є діагональною, тобто на її головній діагоналі розташовані ваги відповідних вимірів. У нашому випадку виміряні перевищення є незалежними і тому

4.5. Послідовність обчислень

Подальші обчислення рекомендуємо виконувати у такій послідовності

1. Обчислення транспонованої матриці коефіцієнтів при невідомих ;

2. Обчислення добутку транспонованої матриці коефіцієнтів при невідомих і вагової матриці ;

3. Обчислення матриці нормальних рівнянь ;

4. Обчислення матриці-вектора вільних членів нормальних рівнянь (при цьому можна використати матрицю , обчислену у п.2);

5. Обчислення оберненої матриці нормальних рівнянь ;

6. Обчислення вектора поправок до наближених значень висот невідомих точок ;

7. Обчислення добутку матриці коефіцієнтів при невідомих на вектор невідомих ;

8. Обчислення вектора поправок до вимірів ;

9. Обчислення транспонованого вектора поправок ;

10. Обчислення добутку транспонованого вектора поправок на вагову матрицю ;

11. Обчислення значення ;

12. Обчислення середньої квадратичної помилки одиниці ваги

13. Обчислення врівноважених значень висот невідомих точок ; ; ;

14. Оцінка точності точок з невідомими висотами та врівноважених перевищень.

В даному прикладі наведемо лише найважливіші матричні обчислення:

Матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь

.

Вектор вільних членів нормальних рівнянь поправок

.

Обернена матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь

.

Вектор невідомих (поправок до наближених висот точок)

.

Вектор поправок до виміряних перевищень

.

Врівноваженні значення перевищень

4.6. Результати врівноваження

Після усіх необхідних обчислень встановлюємо остаточні результати врівноваження.

Попередню оцінку точності висот невідомих точок можна виконати використовуючи таке співвідношення

,

де

В нашому випадку

Врівноважені висоти невідомих точок та їх точність обчислюємо з такого співвідношення

,

де – середня квадратична помилка висоти відповідної точки.

– середня квадратична помилка одиниці ваги.

В результаті

; ;

; ;

; .

Тобто

Оцінка точності врівноважених перевищень

Коваріаційна матриця врівноважених перевищень

; ;

; ;

; ;

; .

Оскільки точність будь-якої геодезичної мережі визначається точністю її найслабшої ланки, то розглядаючи вищенаведені результати можна встановити, що висоти невідомих точок визначені з точністю не гірше за 9.3мм, а перевищення виміряні з точністю не гіршою за 10.6мм.

4.7. Оцінка точності висот невідомих точок з врахуванням помилок вихідних даних.

Державні геодезичні мережі створюються за принципом від загального до часткового. Тобто, спочатку створюють розріджену, але високоточну основу – мережу першого класу, далі шляхом її поступового згущення створюють мережі нижчої точності. При цьому вважають, що точність пунктів вищого класу є набагато вищою ніж точність визначуваних пунктів нижчого класу. І як наслідок – при оцінці точності висот визначуваних точок не приймають до уваги точність вихідних даних. Для справедливості такого припущення потрібно спочатку дати кількісну оцінку поняттю «набагато вища точність». Загалом в технічній літературі прийнято, що величина є набагато більшою/меншою, якщо вона є на два порядки (в 100 раз) є більшою/меншою відносно порівнюваної величини. Застосовуючи таке трактування і розглядаючи табл. 1, можна дійти висновку, що не враховувати помилки вихідних даних можна хіба, що з огляду прив‘язки технічного нівелювання до Державної геодезичної мережі І класу. Таким чином, питання врахування помилок вихідних пунктів є важливим актуальним питанням, оскільки від цього залежить «об‘єктивність» оцінки точності створюваної мережі.

Розглянемо тепер яким чином можна врахувати точність вихідних пунктів на точність створюваної мережі. Відповідь на це дає рівняння (12)

В якому слід уважно розглянути вектор вільних членів

, ()

Який можна представити у такому матричному вигляді, де

, ,

Маючи на увазі, що наближені значення висото точок не мають жодного впливу на оцінку точності, оскільки можуть бути вибрані довільно, то очевидно, що коваріаційна матриця вектора є нульовою. Що ж до інших елементів формули, то до них можна застосувати правило перетворення коваріацій. В результаті, отримаємо повну коваріаційну матрицю невідомих точок з врахуванням помилок вихідних даних

, ()

де , а – коваріаційна матриця помилок вихідних пунктів (на практиці, як правило, невідомі навіть середні квадратичні помилки вихідних пунктів не кажучи вже про коваріаційні матриці). Якщо нема повної коваріаційної матриці, то тоді – буде діагональною матрицею на головній діагоналі, якої розташовані квадрати середніх квадратичних помилок висот реперів.

Виходячи з заданого прикладу та помилок вихідних пунктів, коваріаційна матриця набуде такого вигляду

Без використання проміжних матриць, наведемо вигляд матриці

коваріаційної матриці

Та остаточної коваріаційної матриці висот невідомих пунктів з врахуванням помилок вихідних пунктів, отже

.

Складемо порівняльну таблицю точності висот невідомих пунктів з врахуванням помилок вихідних пунктів

Таблиця 4

Порівняльна таблиця точності врівноважених висот невідомих пунктів без та з врахуванням помилок вихідних пунктів

Точність врівноважених висот невідомих точок
№ пункту, назва	Без врахування помилок вихідних пунктів	З врахуванням помилок вихідних пунктів

Як бачимо з результатів таблиці при врахуванні середніх квадратичних помилок вихідних пунктів, оцінка точності мережі значно змінилась (погіршилась). Проте середні квадратичні помилки висот невідомих пунктів не перевищують помилки вихідних даних, а навіть є меншими за них! Такий факт може ввести читача в оману. Зокрема про можливість кращої точності результатів врівноваження з використанням вихідних даних гіршої точності.

Дата добавления: 2015-11-14