Понятие множества и способы его задания

Введение в теорию множеств

Лекция 1

Множества и операции над ними

Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным в математике, поэтому

оно не может быть определено с помощью других, более простых по-

нятий. Интуитивно множество рассматривают как нечто целое, со-

стоящее из объектов, которые называют элементами.

Георг Кантор, создатель теории множеств, говорил, что

«Множествоестьмногое,мыслимоенамикакединое».

Иногда множество рассматривают как объединение различных

объектов, обладающих каким-то общим признаком. Природа этих

объектов может быть произвольной: атомы, галактики, буквы, люди,

животные, числа, книги и т.п.

В любом языке существует много синонимов, эквивалентных по-

нятию множества. Например, такими синонимами являются область,

класс, совокупность, система, бригада, коллекция, толпа, библиотека

и т.п. Многие из этих понятий используются для обозначения мно-

жеств специального вида. Так, говорят о коллекции марок, о бригаде

людей, но не говорят о коллекции людей или бригаде марок.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского

алфавита: А, В, С,.... Если необходимо, то используют индексы при

обозначении множеств: A, C 3и т. д. Для обозначения элементов мно-

жеств используют, как правило, малые буквы латинского алфавита: а,

b, с,..., также, возможно, с индексами: a, a 2и т. д.

Тот факт, что среди элементов множества A имеется элемент а, за-писывают как a Î A и читают «элемент а принадлежит множеству A», или а есть элемент А. Здесь Î есть символ принадлежности. Если эле-мент а не входит в состав множества А, записывают a Î A и читают «элемент а не принадлежит А».

Обычно полагают, что всякое множество может иметь лишь один

экземпляр одного и того же элемента, если иное не оговорено. Иногда

рассматривают случай, когда множество А имеет несколько экземп-

ляров одного и того же элемента, в этом случае множество называют

мультимножеством.

Способы задания множества могут быть различными, и выбор спо-

соба зависит как от количества элементов, из которых состоит множе-

ство, так и от природы этого множества.

Наиболее простой способ задать множество — перечислить все со-

ставляющие его элементы

А = { а, а 2, а, а 4}.

Это задание множества в явной форме. Элементы множества при перечис-

лении заключаются в фигурные скобки, как это показано выше.

Заметим, что порядок записи элементов множества в таком случае

может быть произвольным.

В общем случае, если множество имеет много элементов, то явное

задание такого множества громоздко или невозможно. Например, не-

возможно составить список всех целых четных чисел. Поэтому мно-

жество можно задать, указав условие, или свойство P (x), которому

должны удовлетворять все элементы x задаваемого множества. Свой-

ство P (x) называют также предикатом. Это свойство позволяет из всей

совокупности объектов любого происхождения распознать элементы

данного множества.

Пусть это свойство задано предикатом P (x), который является со-

кращенной записью предложения «x есть четное число». В этом слу-

чае множество записывают следующим образом

А = { х | Р (х }.

Такая запись читается так: множество А состоит из элементов х та-

ких, что P (x) (что х есть четное число). Вместо вертикальной черты,

отделяющей обозначение элемента множества от свойства элементов

множества, используется также двоеточие.

Иногда свойство, которым обладают элементы рассматриваемого

множества, задают формулой

A ={ x |0£ x £1, x Î R }.

Здесь R обозначает множество всех действительных чисел.

Множество А = { а | а 2 - 4 а + 3 = 0 состоитизкорнейквадратного уравнения а 2 - 4 а + 3 = 0; множество А = {x\Q<x<\,x aR}

А = { x |0 £ x £1, x Î R имеетбесконечноечислоэлементов.

В математике рассматривается также множество, не имеющее эле-

ментов. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Напри-

мер,множествоA = { х | х 2= -1, х Î R} = Æ.Здесь R —множестводейст-

вительных чисел.

Множества между собой могут находиться в различных отноше-

ниях.

Два множества А и В называют равными, если они состоят из одних

)

}

}

и тех же элементов. Этот факт записывают так А = В.

Подмножества

Пусть имеется некоторое множество A. Иногда требуется рассмат-

ривать не все элементы множества A, а только часть этих элементов.

Ясно, что часть элементов множества A также образует множество. Та-

кое множество называют подмножеством множества A.

Строго говоря, множество A является подмножеством множест-

ва A если каждый элемент множества A является также элементом

множества A, что записывают A Ì A и читают «A есть подмножество

множества A» или «A содержится в A».

Исходя из определения подмножества можно заключить, что само

множество А является собственным подмножеством, то есть можно записать, что A Ì A. Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваемое подмножество A множества A может совпадать с множеством А, отно-

шение «быть подмножеством» записывают также A Í A.

Из определения следует, что ÆÌ A, то есть пустое множество явля-

ется подмножеством любого множества А.

Пусть имеется множество всех подмножеств множества А. Такое

множество называют булеаном или множеством-степенью и обозна-

чают

2 A.

Пусть, например, имеется множество А = 1,2,3. Тогда множест-

во-степень (булеан) этого множества имеет следующий вид

2 A ={ {},{},{}, 1,2, 1,3,{2,3, 1,2,3}

}

{

}

{

}

}

{

}

{

Æ,

Важным понятием в теории множеств является понятие универсаль-

ного множества, или универсума. Универсальным называют множест-

во, элементами которого являются все множества некоторой задачи

или теории. Будем обозначать универсальное множество знаком U. Ясно, что если А и В есть любые два множества, то A B Ì U.

Для наглядного изображения множеств используют диаграммы Эй-

лера—Венна. На каждой такой диаграмме прямоугольником изобража-

ют универсальное множество U. Все другие множества, которые явля-

ются подмножествами универсального множества, изображают внутри

прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой

линией. Обычно такие множества изображают как окружности или

овалы внутри прямоугольника.

Рис. 1.1. Диафамма Эйлера—Венна

На рис. 1.1 представлена диаграмма Эйлера—Венна. Из этой диа-

граммы видно, что множество В является подмножеством множест-

ва А. Множества С и D не имеют общих элементов с множествами А

и В. Множества С и Д напротив, имеют общие элементы, принадле-

жащие как множеству С, так и множеству D.

Лекция 2

Дата добавления: 2015-11-16