A ∩ -A ≠ Ø A È -A ≠ U

Нарушение законов (алгебры нечетких множеств?) при максимином и алгебраическом определении функции принадлежности.

A ∩ -A ≠ Ø A È -A ≠ U

Нарушение законов (алгебры нечетких множеств?) при ограниченной функции принадлежности.

Идемпотентности: A Ç A≠A, A È A≠A.

Дистрибутивности: (A Ç B) È C ≠ (A Ç C) È (B Ç C)

(A È B) Ç C ≠ (A È C) Ç (B È C)

15. Бинарная операция и ее основное множество. Способы задания бинарной операции. Таблица Кэли. Операционный квадрат таблицы Кэли.

__Бинарная операция F: A´A→A — этоотображение множ. A ´ A в множ. A, при этом образ пары (x, y) обозначим, например, x · y. Здесь · — символ операции, а A — произвольное непустое множ.

___Напоминание: A ´ A — множ. всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y Î A. Отображение – полностью определенное функциональное соответствие.

__Непустое множ. A называется основным множ. операции.

___Вместо операции · может быть вставлена любая из операций +, –, *, È, Ç, Å, Ä, ° и т.д. и т.п.).

__Замечание: Результат бинарной операции F: A´A→A принадлежит основному множ.

___Примеры: Операция «+» определена на множестве N и НЕ определена на любом ограниченном множестве А={1,2,3}.

1+3=4, 4 Ï А

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ:::
Формулой. Пример1: f = a «авторитет» b на A={Саша, Даша, Петя}

Пример2: f=(a+ b) mod₃ на A={0,1,2}

___Списком троек (1-ый аргумент, 2-ой аргумент, значение).

Пример1: (Саши, Даши, Даша), (Саши, Маши, Саша), (Саши, Саши, Саша), (Даши, Маши, Саша), (Даши, Даша, Даша), (Маши, Маши, Петя), (Пети, Даши, Петя), (Пети, Маши, Петя), (Пети, Саши, Саша), (Петя, Петя, Саша)

Пример2: (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2,), (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)

___Таблицей Кэли - есть таблица n ´ n, в которой эл-т x·y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y.

(ТАБЛ (Л-3(25)(38)

16. Свойства бинарных операций: ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нейтрального и обратного элементов, разрешимость уравнений.

1)_Ассоциативность

(a F b) F c = a F (b F c)

2)_Коммутативность a F b = b F a

3)__Дистрибутивность F относительно G

Слева a F (b G c) = (a F b) G (a F c)

Справа (a G b) F c = (a F c) G (b F c)

4)__Существование нейтрального эл-та

a F e = e F a = a

5)__Существование обратного эл-та

а F а^# = а^# F а = e

6)__Разрешимость уравнений

a · x = b, y · a = b

17. Алгебраическая система (алгебра). Носитель, основное множество алгебры. Сигнатура алгебры. Универсальная алгебра (собственно алгебра) и реляционная система (модель) как разновидности алгебраической системы (алгебры).

__Множ. M с заданными на нем операциями {j₁, j₂,…, j _m } называется алгеброй. Обозначение алгебры: A = (M; j₁, j₂,…, j _m), где M — называется основным множеством (носителем, несущим) алгебры, а S = {j₁, j₂,…, j _m } — сигнатурой алгебры А.

__Множ. M с заданными на нем отношениями { R ₁, R ₂,…, R_n } называется моделью. Обозначение модели: M = (M; R ₁, R ₂,…, R_n), где M — несущее множ.(универсум) модели, а S = { R ₁, R ₂,…, R_n } — сигнатурой модели M.

___Множ. M с заданными на нем операциями {j₁, j₂,…, j _m } и отношениями { R ₁, R ₂,…, R_n } называется алгебраической системой или алгебраической структурой. Обозначение алгебраической структуры: A = (M; j₁, j₂,…, j _m; R ₁, R ₂,…, R_n).

18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.

_Группоид, обозначаемый символом (M, ·) — множ. M, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ·

__Если множ. M группоида конечно, то группоид конечный

__Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

КВАЗИГРУППАЮЛАТИН КВАДРАТ::

__ Квазигруппа (от латинского слова quasi ” почти”) — группоид, бинарная операция которого (например, ·) такова, что каждое из уравнений a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых эл-тов a, b этого множества.

___Таблица Кэли квазигруппы – латинский квадрат таблица n×n, заполненная так, что в каждой строке и столбце встречались все n символов (каждый по одному разу)

__Пример1: «*» на N – не квазигруппа, так как для a=2, b=3 уравнения a · x = b, y · a = b не разрешимы.

__Пример2: «*» на Q - квазигруппа, так как для любых a, b уравнения a · x = b, y · a = b разрешимы и имеют единственное решение.

___Пример3: Группоид A = (M={a,b,c}, f1) задан таблицей Кэли не квазигруппа, так как уравнение a · x = b имеет два решения: а, с

(РИС(Л-3(30))

_Лупа – квазигруппа с нейтральным эл-тов

_ Групп а – лупа у которой бинарная операция ассциативна

_ Полугруппа – это группоид с ассоциативной операцией

_ Моноид - это полугруппа с нейтральным эл-том е

_ Группа - это моноид в котором для каждого эл-та существует обратный эл-т

__ Абелева группа - это группа в которой операция коммутативна

Пример: (Z, «+») – квазигруппа, лупа, полугруппа, моноид, группа, абелева группа

19. Подстановки. Композиция подстановок, нейтральная, обратная подстановка. Группа подстановок и ее таблица Кэли. Подгруппы группы подстановок.

__Преобразования f конечного множ. M называются подстановками множ. M.

__Если множ. M содержит n эл-тов, то группа преобразований Sn множ. M называется группой подстановок n-ой степени или симметрической группой n-ой степени.

__Пример: Группа подстановок 3-ей степени. Дано M={a,b,c}. Число подстановок 6. Схема - в под каждым эл-том указывается его образ.

Дата добавления: 2015-11-16