Теоретичні відомості

Як відомо, багато рівнянь і системи рівнянь не мають аналітичних рішень. У першу чергу це ставиться до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено також, що не можна побудувати формулу, по якій можна було б вирішити довільне алгебраїчне рівняння вище четвертого ступеня. Однак такі рівняння можуть вирішуватися чисельними методами із заданою точністю (не більше значення заданого системної змінної TOL).

Чисельне рішення нелінійного рівняння

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в Mathcad перебуває за допомогою функції root.

root(f(х1, x2,...), х1, a, b)

де f(х1, x2,...) - функція, визначена де-небудь у робочому документі, або вираження. Вираження повинне повертати скалярні значення.

х1 - ім'я змінної, яка використовується у виразі. Цієї змінної перед використанням функції root необхідно привласнити числове значення. Mathcad використає його як початкове наближення при пошуку кореня.

a, b - необов'язкові, якщо використаються, то повинні бути дійснимичислами, причому a < b.

Повертає значення х1, що належить відрізку [a, b], при якому вираження або функція f(х) обертається в 0. Обидва аргументи цієї функції повинні бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Відсутність збіжності функції root, якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить підходящого наближення, то з'явиться повідомлення (відсутня збіжність). Ця помилка може бути викликана наступними причинами:

- рівняння не має коренів;

- корені рівняння розташовані далеко від початкового наближення;

- вираз має локальні max та mіn між початковим наближенням і коренями;

- вираз має розриви між початковими наближеннями та коренями;

- вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було речовинним.

Щоб установити причину помилки, досліджуйте графік f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 та, якщо вони є, то визначити приблизно їхнє значення. Чим точніше обране початкове наближення кореня, тим швидше буде root сходитися.

Рекомендації з використання функції root

Для зміни точності, з якою функція root шукає корінь, потрібно змінити значення системної змінної TOL. Якщо значення TOL збільшується, функція root буде сходитися швидше, але відповідь буде менш точною. Якщо значення TOL зменшується, то функція root буде сходитися повільніше, але відповідь буде більш точною. Щоб змінити значення TOL у певній крапці робочого документа, використайте визначення виду TOL:=0.01. Щоб змінити значення TOL для всього робочого документа, виберіть команду:

Математика => Параметри... => Змінні => Допуск збіжності (TOL).

Якщо два корені розташовані близько одне від іншого, варто зменшити TOL, щоб розрізнити їх.

Якщо функція f(x) має малий нахил біля шуканого кореня, функція root(f(x), x) може сходитися до значення r. У таких випадках для знаходження більш точного значення кореня необхідно зменшити значення TOL.

Знаходження коренів полінома

Для знаходження коренів вираза, що має вид

v_nxⁿ +... + v ₂ x ² + v ₁ x + v ₀,

Краще використати функцію polyroots, ніж root. На відміну від функції root, функція polyroots не вимагає початкового наближення й повертає відразу всі корені, як речовинні, так і комплексні.

Polyroots(v)

де v - вектор, що містить коефіцієнти полінома.

Вектор v зручно створювати використовуючи команду: Символи => Коефіцієнти полінома.

Повертає корені полінома степеня n. Коефіцієнти полінома перебувають у векторі v довжини n + 1. Повертає вектор довжини n, що складається з коренів полінома.

Приклад 1. Застосування функції root.

Значення коефіцієнтів:

Завдання функції:

Визначення значення х.

Рішення систем рівнянь

MathCAD дає можливість вирішувати також і системи рівнянь. Максимальне число рівнянь і змінних дорівнює 50. Результатом рішення системи буде чисельне значення шуканого кореня.

Для рішення системи рівнянь необхідно виконати наступне:

- задати початкове наближення для всіх невідомих, вхідних у систему рівнянь. Mathcad вирішує систему за допомогою ітераційних методів;

- надрукувати ключове слово Gіven. Воно вказує Mathcad, що далі буде система рівнянь;

- введіть рівняння й нерівності в будь-якому порядку. Між лівими й правими частинами нерівностей може стояти кожний із символів <, >, ≥ і ≤;

- введіть будь-який вираз, що включає функцію Fіnd, наприклад:

а:= Fіnd(х, у).

Fіnd(z1, z2,...)

Повертає точне рішення системи рівнянь. Число аргументів повинне дорівнювати числу невідомих.

Ключове слово Gіven, рівняння й нерівності, які випливають за ним, і які-небудь вирази, що містить функцію Fіnd, називають блоком рішення рівнянь.

Наступні вирази неприпустимі всередині блоку рішення:

- обмеження зі знаком ¹;

- дискретний аргумент або вираз, що містять дискретний аргумент у будь-якій формі;

- нерівності виду a < b < c.

Блоки рішення рівнянь не можуть бути вкладені друг у друга, кожен блок може мати тільки одне ключове слово Gіven та ім'я функції Fіnd.

Функція, що завершує блок рішення рівнянь, може бути використана аналогічно будь-якої іншої функції. Можна зробити з нею наступні три дії:

- можна вивести знайдене рішення, надрукувавши вираз виду:

Fіnd(var1, var2,...) =.

- визначити змінну за допомогою функції Fіnd:

a:= Fіnd(x) - скаляр,

var:= Fіnd(var1, var2,...) - вектор.

Це зручно зробити, якщо потрібно використати рішення системи рівнянь в іншому місці робочого документа.

- Визначити іншу функцію за допомогою Fіnd:

f(a, b, c,...):= Fіnd(x, y, z,...).

Ця конструкція зручна для багаторазового рішення системи рівнянь для різних значень деяких параметрів a, b, c,..., що безпосередньо входять у систему рівнянь.

Повідомлення про помилку (Рішення не знайдене) при рішенні рівнянь з'являється, коли:

- поставлене завдання може не мати рішення;

- для рівняння, що не має речовинних рішень, як початкове наближення взяте речовинне число й навпаки;

- в процесі пошуку рішення послідовність наближень потрапила в крапку локального мінімуму нев’язок. Для пошуку шуканого рішення потрібно задати різні початкові наближення;

- можливо, поставлене завдання не може бути вирішене із заданою точністю. Спробуйте збільшити значення TOL.

Приклад 2. Рішення системи рівнянь в MathCAD.

Початкове наближення:

Вводимо ключове слово:

Вводимо систему рівнянь:

Вводимо ім'я функції, що відповідає системі рівнянь та отримуємо розв’язок рівняння:

Символьне рішення рівнянь

В Mathcad можна швидко й точно знайти чисельне значення кореня за допомогою функції root. Але є деякі завдання, для яких можливості Mathcad дозволяють знаходити рішення в символьному (аналітичному) виді.

Рішення рівнянь у символьному виді дозволяє знайти точні або наближені корені рівняння:

- якщо розв'язуване рівняння має параметр, то рішення в символьному виді може виразити шуканий корінь безпосередньо через параметр. Тому замість того, щоб вирішувати рівняння для кожного нового значення параметра, можна просто заміняти його значення в знайденому символьному рішенні;

- якщо потрібно знайти всіх комплексні корені полінома зі ступенем менше або рівним 4, символьне рішення дасть їхні точні значення в одному векторі або в аналітичному або цифровому виді.

Команда Символи => Змінні => Обчислити дозволяє вирішити рівняння щодо деякої змінної й виразити його корені через інші параметри рівняння.

Приклад 3. Символьне рішення системи рівнянь в MathCAD.

Наближені рішення

Функція Mіnerr дуже схожа на функцію Fіnd (використовує той же алгоритм). Якщо в результаті пошуку не може бути отримане подальше уточнення поточного наближення до рішення, Mіnerr повертає це наближення. Функція Fіnd у цьому випадку повертає повідомлення про помилку. Правила використання функції Mіnerr такі ж, як і функції Fіnd.

Mіnerr(z1, z2,...)

Повертає наближене рішення системи рівнянь. Число аргументів повинне дорівнювати числу невідомих.

Якщо Mіnerr використається в блоці рішення рівнянь, необхідно завжди включати додаткову перевірку вірогідності результатів.

Щоб вирішити рівняння символьно необхідно:

- надрукувати вираз;

- виділити змінну, відносно до якої потрібно вирішити рівняння, клацнувши на ній мишею;

- вибрати пункт меню Символи => Змінні => Обчислити.

Немає необхідності прирівнювати вираз до нуля. Якщо MathCAD не знаходить знака рівності, він припускає, що потрібно прирівняти вираз до нуля.

Приклад 4. Наближене рішення системи нелінійних рівнянь.

Початкове значення змінних:

Початок обчислювального блоку:

Знайдене рішення:

Дата добавления: 2015-11-16