Каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола - это линия второго порядка

Исследование формы гиперболы по её уравнению.

X²/a²-y²/b²=1

1. Так как х и y содержатся только в четных степенях => гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОY; относительно точки О(0;0)-центр гиперболы

2.Если y=0=> x²/a²=1=> x=±a=> гипербола пересекает ось ОХ в точках А₁ (-а;o); А₂(+а;o).Если х=0=>-y²/b²=1=>y²=-b²,чего быть не может => гипербола не пересекает ось OY.

Точки А₁ (-а;0); А₂(+а;0) называются вершинами гиперболы;

отрезок А₁А₂=2а-действительная ось

отрезок ОА₁=а-действительная полуось

Если рассмотреть точки В₁(о;-b);В₂(о;b) => отрезок В₁В₂ =-b- мнимая ось, число в- мнимая полуось.

Прямоугольник образованный прямыми х=а; х=-а; y=- в- основной прямоугольник гиперболы

3.Из уравнения x²/a²-y²/b²=1 => x²/a²≥1; x²≥a²; x²=a²; x=±aЗначит, точки гиперболы расположены справа от прямой х=а (правая ветвь) и слева от прямой х=-а(левая ветвь).

4.Если |х| возрастает => |y| возрастает.

5.Гипербола имеет две асимптоты y=b/a*x; y=-b/a*x- диагонали прямоугольника. При построении гиперболы целесообразно сначала:

1.Построить прямые х=а; х=-а; =-b; y=и => получим основной прямоугольник гиперболы.

2.Провести диагонали прямоугольника y=b/a*x; y=-b/a*x => получим асимптоты гиперболы.

3.Отметить вершины А₁(-а;о), А₂)а;о) и фокусы F₁(-c;o); F₂(c;о).

Равносторонняя гипербола.

Гипербола называется равносторонней, если её полуоси равны a=b, тогда x²/a²-y²/a²=1 уменьшиться на а² => x²-y²=a² каноническое уравнение равносторонней гиперболы.

1.Как выглядит её основной прямоугольник?

2.Какими уравнениями задаются её асимптоты?

3.Как называются эти прямые?

Эксцентриситетом гиперболы.

Называется отношение фокусного расстояния к величине действительной оси гиперболы и обозначается ξ: ξ=2c/2a=c/a так как с>а => ξ>1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше ξ, тем больше сжаты ветви гиперболы к оси ОХ.

Кривая, заданная уравнением y²/b²-x²/a²=1 это гипербола с действительной осью 2b на оси OY; мнимая ось 2а на оси ОХ гиперболы x²/a²-y²/b²=1 и y²/b²-x²/b²=1 называется сопряженными.

Контрольные вопросы.

1.Что называется гиперболой?

2.Записать каноническое уравнение гиперболы, пояснить значения а и в.

3.Записать координаты фокусов и вершин гиперболы.

4.Что называется действительной и мнимой осью гиперболы?

5.Записать уравнение асимптот гиперболы. Как построить асимптоты гиперболы?

6.Дать определения эксцентриситета гиперболы. Записать формулу.

7.Что характеризует эксцентриситет гиперболы?

8.Какова величина эксцентриситета гиперболы?

9.Что такое равносторонняя гипербола? Каково её уравнение?

10.Что такое сопряженная гипербола? Каково её уравнение?

Дата добавления: 2015-07-11