Пример. В примере к ИДЗ-4:

В примере к ИДЗ-4:

+2 балла в ИДЗ-4: записать КФ матрицы А₃ и её канонический вид.

ЭКЗ: Записать матрицу КФ и исследовать знакопостоянство КФ: x²+xy; x²-y²;
Записать матрицу КФ F(x,y,z)=

§11 АГ: приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Уравнение F(x,y)=ax²+2bxy+cy²+dx+ey+f=0 определяет на координатной плоскости XOY

одну из «кривых второго порядка» - эллипс/окружность/, параболу или гиперболу.

Канонические уравнения этих кривых в «подходящей системе координат» имеют вид:

(1) ; (4)

(1) (x/a)² + (y/b)² = 1 (x/a)² – (y/b)² = 1 (x/a)² – (y/b)² = 1 y=ax²; x=by²

Пример Уравнение в системе координат XOY.

Замечание. Уравнения вида приводятся к

Каноническому виду (1,2,3,4), если выполнить параллельный перенос системы координат

в новое «начало»: XOY→

АЛГОРИТМ приведения уравнения U(x,y) = Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey +G=0
к каноническому виду.

[I] Определить соответствующую заданному уравнению квадратичную форму (КФ) и её

матрицу A₂. Найти собственные значения матрицы A₂.

[II] Ввести на плоскости новую прямоугольную систему координат OXY→OX’Y’[e₁,e₂], определяемую ортонормированным базисом из собственных векторовматрицы A_2.
Найти уравнения связи координат точки в двух системах координат и получить уравнение кривой в системе OX’Y’: U(x,y) è U(x’,y’).

[III] Выделить в U(x’,y’) «полные квадраты» по переменным x’ и y’ [ (t ∓ a)2 = t² ∓ 2ta + a² ]

и записать каноническое уравнение кривой.
Определить тип кривой и схематически изобразить её на плоскости.

ИДЗ-4; часть 2. по теме «Приведение уравнения кривой 2 порядка к каноническому виду.»

ЗАДАНИЕ.

[II] Часть-2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и
и изобразить её схематически на координатной плоскости
2.1 Определить соответствующую заданному уравнению квадратичную форму (КФ) и её матрицу A₂. Найти собственные значения матрицы A₂, определить и изобразить на плоскости новую прямоугольную систему координат OXY→OX’Y’[e₁,e₂], определяемую ортонормированным базисом собственных векторов. 3 балла

2.2 Записат ь уравнения связи координат точки в двух системах координат и
получить уравнение кривой в системе OX’Y’. 3 балла

2.3 Выделить «полные квадраты» по переменным x’ и y’ и записать каноническое уравнение кривой.
Определить тип кривой и схематически изобразить её на плоскости. 3 балла

2.4 Выбрать по каноническому уравнению точку кривой М(x’,y’), найти по (2.2) её координаты М(x,y)
в системе OXY и доказать, что они удовлетворяют заданному уравнению кривой. 3 балла

Пример выполнения ТР

[I]. Собственные значения матрицы

Дата добавления: 2015-07-11