Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с некоторым основанием р приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления, с основанием q, где q<p. Такая система возникает, например, когда в машине, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичное число. В этих случаях используют смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент р -ичного разложения числа записывается в q -ичной системе. В такой системе р называется старшим основанием, q – младшим, а сама система – q-р -ичной. Для того, чтобы запись числа в смешанной системе была однозначной, для представления любой р -ичной цифры отводится одно и то же количество q -ичных разрядов, достаточное для представления любого числа в р -ичной системе. Наиболее часто встречается двоично-десятичная система.

Для того чтобы машина могла переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно, она должна уметь хранить десятичные числа. Так как память машины ничего, кроме нулей и единиц, хранить не может, для этой цели используется промежуточная двоично-десятичная система счисления.

В двоично-десятичной системе каждая цифра десятичного числа записывается в двоичной системе счисления. Очевидно, что различные десятичные цифры требуют для своего двоичного написания различного количества двоичных разрядов: от одного – для 0 и 1 до четырех – для 8 и 9.

Чтобы не применять разделительных знаков, для двоичного изображения десятичной цифры принято всегда выделять четыре двоичных разряда. Такая группа из четырех двоичных разрядов, предназначенная для изображения одной десятичной цифры, называется тетрадой. Для перевода числа из десятичной системы в двоично-десятичную достаточно каждую десятичную цифру заменить ее четырехразрядным эквивалентом (тетрадой) по следующему правилу:

Десятичные цифры
Их двоичные коды (тетрады)

Десятичное число требует для своего изображения в двоично-десятичной системе столько тетрад, каково количество десятичных разрядов числа.

Например, число 925 требует три тетрады: 1001 0010 0101.

Из возможных шестнадцати различных тетрад 0000, 0001,..., 1110, 1111 в двоично-десятичной системе счисления используются только десять. Остальные тетрады не означают никакой десятичной цифры и не имеют смысла в двоично-десятичной системе счисления. По этой причине арифметические операции в двоично-десятичной системе счисления затруднительны.

Следует обратить внимание, что, хотя в двоично-десятичной системе и используется только 0 и 1, число в двоично-десятичной системе отличается от двоичного его изображения.

Например, приведенное выше двоично-десятичное число в двоичной системе изображает число 2341, а не 925.

Обратный переход от двоично-десятичной системы счисления к десятичной также достаточно прост. Для того чтобы его осуществить, необходимо двоично-десятичные числа влево и вправо от запятой разбить на тетрады, а затем каждую тетраду заменить отвечающей ей десятичной цифрой.

Например, двоично-десятичное число 0110 1000 1001, 0100 0111 в десятичной системе запишется как: 689,47.

Как уже говорилось, в ЭВМ числа хранятся обычно в двоичной системе счисления. Однако исходные данные для обработки на машине всегда представляются в десятичной системе счисления. Двоично-десятичная система и служит для записи десятичных чисел в машине, облегчая переход от десятичной системы к двоичной. При вводе исходных данных в машину десятичные числа предварительно с помощью специальных устройств преобразуются в двоично-десятичные. Затем по программе самой машиной двоично-десятичные числа переводятся в двоичные. После окончания вычислений ЭВМ автоматически по программе переводит результат вычислений в двоично-десятичную систему. С помощью специальных устройств осуществляется окончательная выдача на печать результата в десятичной системе. Схематически это выглядит так:

10с/с → 2-10с/с → 2с/с → Обработка → 2с/с → 2-10с/с → 10c/c

Преобразование чисел из десятичного представления в двоично-десятичное происходит автоматически либо на этапе подготовки данных, либо на этапе ввода информации в память.

В современных машинах помимо операций над двоичными числами имеется также возможность производить арифметические операции непосредственно над двоично-десятичными числами. Правда, производятся такие операции несколько медленнее, чем над двоичными числами. Что касается преобразования результатов вычислений из двоично-десятичной системы в десятичную, то они осуществляются автоматически устройствами вывода.

Дата добавления: 2015-07-11