Двоичная система счисления

В зависимости от основания принятой системы счисления для изображения числа в машине в каждом разряде требуется различное число элементов или устойчивых состояний элемента. Большинство механических вычислительных устройств работали в десятичной системе счисления. Каждому разряду в них соответствует элемент, имеющий 10 различных состояний. Например, в русских счетах для изображения одного разряда числа употребляется спица с 10 косточками, а в арифмометре – шестерня с 10 зубьями, расположенными по окружности через каждые 36 градусов. Для механических элементов выбор системы счисления не очень важен: для пятеричной системы можно надеть на спицу 5 косточек (так и сделано на китайских счетах суан-пан), а для двенадцатеричной – сделать шестерни с 12 зубьями через 30 градусов вместо 36.

Наиболее естественным было бы использование для изображения чисел в ЭВМ десятичной системы счисления. Но для построения ЭВМ оказались более удобными другие системы счисления, отличные от десятичной. И вызвано это тем, что для электронных и некоторых электромеханических элементов характерно наличие двух устойчивых состояний. Так, например, электромеханическое реле может быть замкнуто или разомкнуто, конденсатор заряжен или разряжен, электронная лампа может проводить или не проводить ток. Магнит может находиться в одном из двух состояний намагниченности. Применение элементов, имеющих два различных устойчивых состояния, требует применения системы счисления, использующей только две цифры. Таковой является двоичная система счисления. Кроме удобства изображения чисел с помощью электронных элементов, двоичная система обладает рядом преимуществ при выполнении арифметических операций. Поэтому конструкция ЭВМ предусматривает в основном представление чисел в двоичной системе счисления.

Двоичная система есть позиционная система счисления с основанием два. Для изображения чисел в этой системе требуется лишь две цифры: 0 и 1. Благодаря этому числа можно изображать с помощью элементов, имеющих два устойчивых состояния: одно из них принимается за изображение нуля, другое – за изображение единицы. Основание двоичной системы «два» изображается в этой системе как 10. Нетрудно видеть, что следующим числом будет число 11, затем 100 и т.д. Первые числа натурального ряда выражаются в двоичной системе счисления так:

Десятичные
Двоичные

Из приведенной записи видно, что степени основания, т.е. 21, 22, 23,..., в двоичной системе счисления представляются как набор нулей и единиц, причем количество нулей совпадает с показателем степени при основании. Аналогично и в десятичной системе – степени основания 10 представляются таким же набором нулей и единиц.

Следует отметить, что запись числа в двоичной системе счисления значительно длиннее десятичной записи: для записи произвольного целого числа в двоичной системе требуется в среднем в 3 раза больше разрядов, чем в десятичной. Поэтому при обычном ручном счете десятичная система удобнее двоичной. Однако в электронных машинах важно не количество разрядов (элементов), а общее количество устойчивых состояний всех элементов, необходимых для изображения чисел.

Рассмотрим организацию двоичной системы счисления на примере десятичной системы. Десятичное число 325 можно представить следующим образом:

325=300+20+5=3·100+2·10+5·1=3·10²+2·10¹+5·10⁰.

Точно также строится и любая другая система счисления, в том числе и двоичная. Произвольное число в двоичной системе счисления будет изображаться последовательностью цифр:

a_n...a₀,a_-1...a_-m=a_n·2ⁿ+...+a₀·2⁰+...+а_-1·2^-1+...+а_-m·2^-m,

где каждый из коэффициентов может принимать значение 0 или 1.

Рассмотрим для примера двоичное число 1001, (оно соответствует десятичному числу девять):

1001₂=1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰=8+1=9₁₀.

Арифметические действия в двоичной системе счисления производятся по обычным правилам арифметики согласно соответствующим таблицам.

Двоичная таблица сложения Двоичная таблица умножения

0+0= 0 0·0=0

0+1= 1 0·1=0

1+0= 1 1·0=0

1+1=10 1·1=1

При сложении двух двоичных чисел необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий старший разряд. Правила сложения остаются теми же, что и в десятичной системе: сложение ведем, начиная с младших разрядов, а при возникновении переносов учитываем их в старших разрядах. Поясним это на примере сложения двух двоичных чисел:

Единицы переноса 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Первое слагаемое ₊110101,1011 ₊110111

Второе слагаемое 11000,1110 11011

Сумма 1001110,1001 1010010

Несколько сложнее производится сложение трех и более двоичных чисел. В этом случае необходимо внимательно следить за образующимися при сложении единицами переноса в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в ближайшие старшие разряды, но и в более удаленные.

При вычитании двоичных чисел необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает две единицы соседнего младшего разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в ближайшем значащем старшем разряде, даст две единицы младшего разряда и единицы во всех нулевых разрядах, стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у которого брался заем.

Примеры: 1) _10101 2) _10001 3)_1101 4) _10110

11011100111101

1000 101 110 10001

При умножении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и сложения.

Пример: 1) _´111 2) _´1001 3) _´11011

10110111111

₊ 111 ₊ 1001 11011

000 1001 11011

1111001 11011

100011 1100011 11011

110010101

Из примера видно, что умножение в двоичной системе сводится к многократному сложению и сдвигам: если в данном разряде множимого записана единица, то осуществляется прибавление к промежуточной сумме множимого, сдвинутого на один разряд влево, если – 0, то прибавление нуля.

При делении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и вычитания. Поскольку деление – действие, обратное умножению, то оно сводится соответственно к сдвигам и вычитанию делителя.

Пример: 1) _1111 | 101 2) _11001| 101 3) _11011| 11

101 11 101 101 11 1001

_101 _101 _011

101101 11

000 000 000

Как видно из приведенных примеров, правила выполнения арифметических действий в десятичной и двоичной системах одинаковы. Однако в двоичной системе счисления они гораздо проще, а, следовательно, и результаты вычисления надежнее. А надежность на дорогостоящем оборудовании играет большую роль, т.к. любое искажение отражается в виде неправильных результатов на выходе.

Таким образом, применительно к электронным вычислительным машинам двоичная система счисления обладает рядом преимуществ перед десятичной. Во-первых, при представлении чисел в машине каждая двоичная цифра числа может быть представлена элементом машины, имеющим лишь два устойчивых состояния, одно из которых принимается за 0, а другое – за 1. Во-вторых, арифметические действия над двоичными числами оказываются намного проще, чем соответствующие операции в десятичной системе. В-третьих, двоичная система оказывается более экономичной, чем десятичная, с точки зрения затраты элементов.

Недостатком двоичной системы является то, что она не привычна для человека. Значит, неудобством этой системы счисления (как, впрочем, и всякой другой, отличной от десятичной) является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.

Дата добавления: 2015-07-11