Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование рациональных дробей. 1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей.



Читайте также:
  1. А) По теме интегрирование
  2. Идеология гедонизма. Скрытое интегрирование.
  3. Интегрирование по частям.
  4. Интегрирование подстановкой.
  5. Интегрирование рациональных дробей
  6. Интегрирование тригонометрических выражений

1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей.

Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m<n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной.

Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I .

II .

III

IV

 

Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Пример 20. Представить дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:

Следовательно, дробь можно записать в виде:

.

Ответ: .

 

Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.

Разложение правильной рациональной дроби (m<n) на сумму простых дробей выполняют по следующей схеме:

а) Найти корни многочлена Qn (x) и представить его в виде произведения простых множителей:

,

Где ,

,

,

,

б) Записать разложение дроби с неопределенными коэффициентами:

в) Определить коэффициенты

суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо все разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби Pm (x). Приравнивания в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – интересующие нас коэффициенты.

 

Пример 21. Разложить дробь на сумму простых дробей.

1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:

.

2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:

 

3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение к общему знаменателю и приравняем их числители.

 

 

Следовательно:

 

 


Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 173 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)