Первый учебный вопрос. Критическая сила. Формула Эйлера

ЛЕКЦИЯ № 12

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

по учебной дисциплине «Механика»

Автор: доцент Гречин Е.Г.

доц., д.т.н.

Обсуждена на заседании

Кафедры № 7 Протокол № 7

от «___» марта 2014 г.

Тюмень – 2014

УТВЕРЖДАЮ

Профессор кафедры № 7

В. Зыкова

«» марта 2014 г.

ЛЕКЦИЯ № 12

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

по учебной дисциплине «Механика»

Разрешаю к использованию в 2014-2015 учебном году

Профессор кафедры № 7

______________________________________________

(воинское звание, подпись, инициал имени и фамилия)

«___» _____________ 2014 г.

Разрешаю к использованию в 2015-2016 учебном году

Заведующая кафедрой № 7

______________________________________________

(воинское звание, подпись, инициал имени и фамилия)

«___» _____________ 2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………… …………………...4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Первый учебный вопрос. Критическая сила. Формула Эйлера.. …... ….4

2. Второй учебный вопрос. Пределы применимости формулы

Эйлера. Формула Ясинского ………………………………………………..6

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..9

4. ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………....9

5. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ……………...9

ВВЕДЕНИЕ

При расчете на прочность сжатого стержня напряжение в опасном сечении сравнивают с допускаемым напряжением. При этом длина стержня и некоторые другие факторы не учитываются. Однако потеря работоспособности может наступить при напряжениях, значительно меньше, чем предел прочности или текучести, – в результате внезапного изменения формы. Это изменение прогрессивно возрастает при незначительном дальнейшем увеличении нагрузки. К схеме продольно сжатого стержня относятся такие объекты, как трубы, колонны, вышки и др. Их в первую очередь необходимо рассчитывать на устойчивость.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Первый учебный вопрос. Критическая сила. Формула Эйлера

Рассмотрим стержень, нагруженный продольной сжимающей силой (рисунок 1). Если сила меньше некоторого критического значения Р_кр, устойчивой является прямолинейная форма (рисунок 1, а). При достижении критического значения Р_кр устойчивой является форма изогнутого стержня (рисунок 1,б)

Рисунок 1 – Потеря устойчивости формы равновесия

Продольным изгибом называется изгиб, вызванный потерей устойчивости сжатого стержня. Потеря устойчивости происходит при достижении критической силы.

Условие устойчивости имеет вид:

(1)

Формулу для определения критической силы вывел академик Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 году. При ее выводе он использовал схему, показанную на рисунке 2.

Рисунок 2 – Схема к выводу формулы Эйлера

Из теории прямого изгиба известна формула

(2)

где ρ – радиус кривизны изогнутого стержня;

М – изгибающий момент.

Из уравнения (2) с использованием приведен ной расчетной схемы можно получить формулу для определения критической силы

(3)

В формуле (3) указан минимальный осевой момент инерции, так как изгиб стержня будет происходить относительно оси с наименьшим моментом инерции сечения.

От условий закрепления концов стержня зависит величина критической силы. В окончательной формуле Эйлера учитываются условия закрепления стержня

(4)

Основные случаи закрепления концов стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рисунке 3.

Рисунок 3 – Коэффициенты приведения длины при различных случаях закрепления концов стержня

Коэффициент приведения длины можно определить по формуле

µ = 1 / n, (5)

где n – число полуволн, образующихся при потере устойчивости стержня.

В схеме Эйлера (рисунок 2) одна полуволна, поэтому в формуле (3) µ = 1.

Из формулы (4) видно, что повышением прочности стали нельзя добиться увеличения критической силы. В нее входит модуль упругости Е, мало отличающийся у любых марок стали.

Дата добавления: 2015-10-21