Линии второго порядка

1°. Определение эллипса, каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса.

Определение 1. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Составим уравнение эллипса. Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через фокусы и , и имела одинаковое направление с вектором , а начало координат было в середине отрезка . Пусть . Тогда – координаты фокуса а – координаты фокуса (рис.1).

Рис. 1

Пусть – произвольная точка эллипса. Отрезки и называются фокальными радиусами точки . Положим , Тогда

, . (1)

Согласно определению эллипса, точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда для некоторого числа , большего , выполняется равенство

. (2)

Уравнение (2) является уравнением эллипса в выбранной декартовой прямоугольной системе координат.

Представим уравнение (2) в виде

и возведём обе части в квадрат. Получим

,

откуда

.

Вновь доведём обе части этого равенства в квадрат:

,

откуда

, (3)

причём .

Положим , тогда из (5) следует

. (4)

Таким образом, координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (4). Покажем теперь, что верно и обратное утверждение: любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , есть точка эллипса. Для этого убедимся, что . Подставив значение из (4) в правую часть выражений (1), получим

,

откуда

, .

Так как из уравнения (4) следует , т.е. , , то , а это значит, что . Следовательно,

, . (5)

Отсюда получаем , а это значит, что точка принадлежит эллипсу.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Исследуем форму эллипса. Из канонического уравнения эллипса (4) следует, что , . Это означает, что эллипс расположен в прямоугольнике, образованном прямыми , , и, следовательно, является ограниченной кривой.

Так как каноническое уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, то из принадлежности точки эллипсу следует, что и точки , , также лежат на эллипсе. Таким образом, оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии. Таким образом, оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

Рис. 2

Если в уравнении (4) положим , то получим или . Значит, , – точки пересечения эллипса с осью .

Полагая , получаем , т.е. точками пересечения эллипса с осью являются , . Точки , называются вершинами эллипса.

В силу симметрии достаточно исследовать форму эллипса только в первой четверти. Для первой четверти из уравнения (6) получим

.

Функция определена и непрерывна при , поэтому график функции асимптот не имеет. Вычислим производные

и найдём, что при производные . Следовательно, данная функция монотонно убывает и выпукла вверх. График функции в первой четверти изображён на рис. 2. Эллипс строим с учётом симметрии (см. рис. 1).

Определение 2. Число

(6)

называется эксцентриситетом эллипса.

Так как , то . Перепишем формулу (6) для эксцентриситета в виде

.

Отсюда видно, что характеризует форму эллипса: если , то , а эллипс становится похожим на окружность. При увеличении эллипс становится более вытянутым.

Пусть – произвольная точка эллипса. Её фокальные радиусы и задаются формулами (5), которые в силу (6) имеют вид

, . (7)

Восстановим в одном из фокусов эллипса перпендикуляр к оси до пересечения в точке с эллипсом. Фокальным параметром эллипса называется длина отрезка .

Так как точка имеет координаты , то

,

откуда , т.е. .

Выведем параметрическое уравнение эллипса. Перейдём в каноническом уравнении эллипса (4) к переменным

.

Получим уравнение окружности . Параметрическое уравнение этой окружности, как известно, имеет вид . Тогда

.

Полученные уравнения являются параметрическими уравнениями эллипса.

2°. Определение гиперболы, каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы.

Определение 3. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть расстояние между фокусами равно . Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем ДПСК так же, как и для эллипса. Тогда фокус имеет координаты , а фокус – координаты .

Для произвольной точки плоскости определим её фокальные радиусы и по формулам: , . По определению, точка принадлежит гиперболе, если есть величина постоянная. Пусть . Это равенство является необходимым и достаточным условием расположения точки на данной гиперболе. Из этого равенства, используя выражения (1) для фокальных радиусов и , получаем уравнение

, (8)

являющиеся уравнением гиперболы в выбранной прямоугольной системе координат. Переписывая (8) в виде

и возведя обе части равенства в квадрат, получим

.

Отсюда упрощений имеем

.

Возведя обе части снова в квадрат, получим

,

откуда

.

Так как для гиперболы , то, положив , получим

. (9)

Мы показали, что координаты любой точки гиперболы удовлетворяют уравнению (9). Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение: любая точка с координатами , удовлетворяющими уравнению (9), есть точка гиперболы.

Из (9) находим . Тогда

.

Аналогично получим

.

Так как из равенства (13) следует, что и, по определению, , то для имеем

, , (10)

поэтому . Для получим

, . (11)

Следовательно, .

Таким образом, для рассматриваемой точки имеем , и поэтому она располагается на гиперболе. Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.Так как в уравнение (9) входят только чётные степени координат, то, как и в случае эллипса, оси координат являются осями симметрии, а начало координат – центром симметрии. Ось симметрии гиперболы, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью, а точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются вершинами. Полагая в уравнении (9), получаем – точка пересечения гиперболы с осью . Следовательно, точки , – вершины гиперболы. Положив , из (9) получим невозможное равенство , которое означает, что гипербола не пересекается с осью .

Величина и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Из уравнения (9) получаем

,

т.е. . В силу симметрии достаточно исследовать форму гиперболы в первой четверти, а в остальных четвертях построить гиперболу по симметрии. Из уравнения (9) для первой четверти получаем

. (12)

Функция в первой четверти монотонно возрастает и является выпуклой вверх, так как

,

.

Найдём наклонную асимптоту для графика функции (12) в первой четверти:

,

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота для гиперболы. В силу симметрии асимптотами гиперболы (9) являются прямые . Других асимптот нет.

Построим гиперболу (9). Сначала построим так называемый основной прямоугольник гиперболы со сторонами , . Очевидно, что асимптоты гиперболы являются прямыми, на которых расположены диагонали этого прямоугольника. Из приведённых выше рассуждений следует, что гипербола имеет вид, изображённый на рис. 3, и состоит из левой и правой ветвей.

Рассмотрим также уравнение

. (13)

Оно задаёт гиперболу, фокусы которой расположены на оси , а основной прямоугольник и асимптота те же, что у гиперболы (9) (рис. 4). Гиперболы (9) и (13) называются сопряжёнными друг с другом.

Рис. 3

Рис. 4

Определение 4. Эксцентриситетом гиперболы называется число

.

Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше , тем больше вытягивается основной прямоугольник (так как ), а вслед за ним и гипербола вдоль оси .

Фокальным параметром гиперболы называется длина отрезка перпендикуляра к оси , восстановленного в одном из фокусов до пересечения с гиперболой в точке , т.е. . Точка имеет координаты , следовательно,

, откуда .

Фокальные радиусы и произвольной точки гиперболы в силу соотношений (10) и (11) для правой ветви гиперболы задаются формулами

, , (14)

для левой –

. (15)

3°. Определение параболы, каноническое уравнение, исследование формы.

Пусть на плоскости заданы точка и прямая , не проходящая через эту точку.

Определение 5. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от точки и прямой . Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой параболы.

Рис. 5

Составим уравнение параболы. Выберем прямоугольную систему координат так, что ось проходит через фокус перпендикулярно к директрисе в направлении от директрисы к фокусу . Начало координат возьмём в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Пусть расстояние между фокусом и директрисой (фокальный параметр): тогда и уравнение директрисы будет иметь вид .

Пусть – произвольная точка параболы. Обозначим через и назовём фокальным радиусом точки расстояние от до фокуса . Расстояние от точки до директрисы обозначим . Согласно определению параболы равенство

является необходимым и достаточным условием принадлежности точки данной параболе. Так как

,

то соотношение

(16)

представляет собой уравнение параболы в выбранной системе координат.

Возводя обе части равенства (16) в квадрат, получаем

,

откуда

. (17)

Покажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (17), то точка лежит на параболе. Действительно, из (17) следует, что . Тогда . Используя это, получаем

.

Таким образом, для того чтобы точка с координатами принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы её координаты удовлетворяли уравнению (17). Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы.

Итак, для точки параболы выполняется . Так как для точек эллипса и гиперболы отношение , то для параболы естественно положить эксцентриситет равным единице.

Из уравнения (17) видно, что все точки параболы лежат в первой и четвёртой четвертях. Ввиду того, что уравнение (17) содержит координату только в чётной степени, то парабола симметрична относительно оси , и поэтому достаточно исследовать её форму в первой координатной четверти. В этой четверти рассматриваемая парабола описывается уравнением . Функция является монотонно возрастающей, выпуклой вверх, так как

, .

Наклонных асимптот вида для графика функций в первой четверти нет (следовательно, нет их и для графика функции в четвёртой четверти), поскольку иначе

, .

У параболы нет вертикальных асимптот, так как функция непрерывна на . Таким образом, парабола имеет, изображённый на рис. 6.

Рис. 6

Ось симметрии параболы называется её осью. Точка пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

Укажем теперь геометрический смысл фокального параметра . Для этого через фокус проведём прямую, перпендикулярную к оси параболы (см. рис. 6). Уравнение этой прямой имеет вид . Найдём координаты точек пересечения прямой с параболой:

Следовательно, , , .

Итак, фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к оси параболы, восстановленного из фокуса до точки пересечения с параболой. В этом смысле фокальный параметр характеризует форму параболы.

4°. Директрисы эллипса и гиперболы.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

.

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т.е. что и, следовательно, . Предположим ещё, что этот эллипс вытянут в направлении оси , т.е. что .

Определение 6. Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнение директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую – правой.

Так как для эллипса , то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины. Эллипс вместе с директрисами изображён на рис. 7.

Рис. 7

Рассмотрим какую–нибудь гиперболу и введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Определение 7. Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая её пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнение директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую – правой.

Так как для гиперболы , то . Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной. Гипербола вместе с директрисами изображена на рис. 8.

Рис. 8.

Значение директрис эллипса и гиперболы выявляется следующими двумя теоремами.

Теорема 1. Если – расстояние от произвольной точки эллипса до какого–нибудь фокуса, – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

.

Доказательство: Предположим для определённости, что речь идёт о правом фокусе и правой директрисе. Пусть – произвольная точка эллипса (см. рис. 7). Расстояние от до правой директрисы выражается равенством

,

а расстояние от до правого фокуса даётся второй из формул (7):

.

Отсюда имеем:

.

Теорема доказана. ■

Теорема 2. Если – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого–нибудь фокуса, – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:

.

Доказательство: Предположим для определённости, что речь идёт о правом фокусе и правой директрисе. Пусть – произвольная точка гиперболы (см. рис. 8). Нам придётся рассмотреть два случая:

1) Точка находится на правой половине гиперболы. Тогда расстояние от до правой директрисы выражается равенством

,

а расстояние от до правого фокуса даётся второй из формул (10):

.

Отсюда имеем:

.

2) Точка находится на левой половине гиперболы. Тогда расстояние от до правой директрисы выражается равенством

,

а расстояние от до правого фокуса даётся второй из формул (15):

.

Отсюда имеем:

.

Теорема доказана. ■

Свойство эллипса и гиперболы, выраженное предыдущими теоремами, можно положить в основу определения этих линий. Именно

Определение 8. Геометрическое место точек, для которых расстояние от некоторой фиксированной точки (фокуса) и расстояние до некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в постоянном отношении

, (18)

есть эллипс, если , гипербола, если , парабола, если .

5°. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Воспользуемся определением 8 для вывода полярного уравнения эллипса, гиперболы и параболы (по форме записи общее для этих трёх линий) при некотором специальном расположении полярной оси. Отметим, что в случае гиперболы это уравнение определяет линию не целиком, а только одну её ветвь.

Пусть нам дана какая–нибудь из названных линий (эллипс, гипербола или парабола, если данная линия гипербола, то мы будем рассматривать какую–нибудь одну её ветвь) и пусть – фокус линии, – соответствующая этому фокусу директриса (в случае гиперболы в качестве и возьмём фокус и директрису, ближайшие к рассматриваемой ветви).

Введём полярную систему координат так, чтобы полюс совместился с фокусом , а полярная ось была перпендикулярно к директрисе и направлена от неё к фокусу (рис. 9). Обозначим, как обычно через полярные координаты произвольной точки на линии. Чтобы вывести уравнение линии, будем исходить из соотношения (18)

,

где – эксцентриситет линии, а и имеют тот же смысл, что и в пунктах 1°–3°.

Рис. 9.

Так как полюс совмещён с фокусом , то

. (19)

Далее,

. (20)

Пусть – точка, расположенная на линии так, что отрезок перпендикулярен к полярной оси, и – длина отрезка (для параболы, совпадает с её параметром).

Из (18) имеем

,

откуда . Но ; следовательно,

.

Из последнего равенства и равенства (20) получаем:

.

Подставляя в (18) вместо и их выражения (19) и (20), найдём:

,

откуда,

. (21)

Уравнение (21) является полярным уравнением эллипса, гиперболы (вернее одной ветви гиперболы) и параболы. Здесь – фокальный параметр, – эксцентриситет кривой. Уравнение (21) широко используется в небесной механике.

6°. Исследование общего уравнения второго порядка.

Пусть на плоскости задана прямоугольная определяемая репером . Рассмотрим уравнение

, (22)

в котором коэффициенты и не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют (22), не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол старые координаты точки будут связаны с её новыми координатами формулами

, .

В новых координатах уравнение (22) имеет вид

Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением в преобразованном уравнении. Коэффициент при равен

.

Если , то поворачивать систему координат не будем. Если же , то выберем угол так, чтобы обратилось в нуль.

Это требование приведёт к уравнению

. (23)

Если , то , и можно положить . Если же , то выбираем . После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение

. (24)

Выражения для коэффициентов уравнения (24) через коэффициенты (22) легко вычисляется.

Утверждение 1. Если в уравнение (24) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, . Перепишем (3) в виде

.

Если сделать перенос начала координат, определяемый формулами , , то уравнение приведётся к виду

,

как и требовалось.

А. Далее перечислим возможные случаи уравнения (24). , т.е. оба коэффициента отличны от нуля, то согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведётся к виду

.

Возможные следующие подслучаи.

А1. (коэффициенты и имеют один знак). Для имеются следующие три возможности:

А1а. Знак противоположен знаку и . Тогда перенесём в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид

,

, .

т.е. в этом случае линия является эллипсом.

А1б. Знак совпадает с общим знаком и . Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду

.

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Такое уравнение называется уравнением мнимого эллипса.

А1в. . Уравнение имеет вид

.

Ему удовлетворяет только одна точка , . Уравнение называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.

А2. – коэффициенты и имеют разные знаки. Относительно имеются следующие две возможности.

А2а. . В этом случае уравнение приводится к виду

,

полученная линия – гипербола.

А2б. . Уравнение имеет вид

.

Его левая часть разлагается на множители и и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из множителей. Поэтому эта линия состоит из двух прямых, которые пересекаются в начале координат.

Б. Если , то, один из коэффициентов и равен нулю. Пусть и , (иначе порядок уравнения был бы равен 1, а не 2). Используя утверждение 1, риведём уравнение к виду

.

Б1. Пусть . Сгруппируем члены следующим образом:

.

Перенесём начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода , . Тогда уравнение примет вид

,

или

,

где . Таким образом получили параболу.

Б2. Допустим, что . Тогда уравнение имеет вид . Относительно есть следующие три возможности:

Б2а. , т.е. знаки и противоположны. Разделив на , приведём уравнение к виду

.

Левая часть уравнения разлагается на множители и . Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.

Б2б. , т.е. знаки и совпадают. Разделив на , приведём уравнение к виду

.

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к такому каноническому виду, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Б2в. . После деления на уравнение принимает вид

.

Это уравнение эквивалентно уравнению , и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к этому виду, называется уравнением пары совпавших прямых.

Соберём вместе полученные результаты.

Теорема 3. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (24).

Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы; 2) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 3) гиперболы; 4) пары пересекающихся прямых; 5) параболы; 6) пары параллельных прямых; 7) прямые (пары совпавши прямых).

Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.

Пример 1.

Решение. Так как , то и формулы (4.31) имеют вид

.

Дата добавления: 2015-08-21