Форми представлення чисел

Форми представлення чисел в ЕОМ. Діапазони представлення чисел.

1. Форми представлення даних

Найменша одиниця інформації – двійковий розряд (0 або 1), що отримав назву біт. Для представлення символів в ЕОМ використовується байт (8 біт).

Найменшою структурною одиницею інформації, що адресується, в сучасних ЕОМ прийнятий байт і, відповідно, використовується байтова організація інформації в оперативній пам'яті.

Для представлення в ЕОМ алфавітно-цифрової інформації зазвичай застосовується машинне слово, що являє сукупність символів, яка витягується з оперативної пам'яті або записується в неї за одне звернення. Машинне слово зазвичай містить ціле число байтів, які утворюються послідовно, починаючи з нуля.

У ЕОМ і мікроЕОМ як операнди використовуються такі формати даних: байт, півслово, слово, подвійне слово і поле – інформаційна одиниця змінної довжини, але|та| не більше 256 байт (рис. 1).

0 7 8 15 16 31 32 63

байт

півслово

слово

подвійне слово

Рис. 1. Формати даних

Для мікропроцесорів і мікроЕОМ застосовуються формати даних з|із| довжиною слова 4, 8, 12, 16, 32 і 64 біта. Побайтова організація інформації в пам'яті ЕОМ забезпечує інформаційну сумісність форматів даних між різними мікропроцесорами і мікроЕОМ.

Форми представлення чисел

При розміщенні оброблюваної інформації в ЕОМ слід враховувати необхідність контролю її обробки і адресації у комірці оперативної пам'яті. Це викликає певні вимоги до організації розрядної сітки ЕОМ. Під розрядною сіткою ЕОМ розуміють кількість розрядів, необхідних для розміщення у комірці оперативної пам'яті повного машинного слова. Для кожного типа ЕОМ вона має чітко обмежену кількість розрядів.

У ЕОМ використовуються дві форми представлення чисел в розрядній сітці:

– з|із| фіксованою комою (крапкою|точкою|) (ФК);

– з|із| плаваючою комою (крапкою|точкою|) (ПК).

Подання з|із| ФК – це природна форма представлення числа, яка характеризується тим, що положення|становище| його коми в розрядній сітці завжди залишається постійним (фіксується), незалежно від величини самого числа. Зазвичай|звично| кома фіксується перед старшим або після|потім| молодшого розряду. Якщо кома фіксується перед старшим розрядом, то числа в ЕОМ представляються як правильні дроби (рис.2 а), якщо після|потім| молодшого ­– як цілі числа (рис.2 б).

Для кодування знаку числа використовується знаковий розряд (на рис. 2 – нульовий). У цьому розряді 0 відповідає плюсу, а 1 – мінусу. На розрядній сітці вказано вагу кожного розряду. Найбільше додатне число, яке можна представити у розрядній сітці 32-розрядної ЕОМ, дорівнює:

0, 111…11 = 1-2^-31 ,

31 одиниця

а найменше число –

0, 000…001 = 2^-31 .

30 нулів|нуль-елементів|

Рис. 2. Представлення числа в ЕОМ

У розрядній сітці такої ЕОМ можуть бути представлені числа в діапазоні від - (1-2^-31) до -2^-31 і від +2^-31 до (1-2^-31), що відповідає діапазону абсолютних десяткових чисел приблизно від (1-10^-9) до 10^-9.

Числа |х|<2^-31 не можуть бути зображеними у розрядній сітці і приймаються рівними нулю (число виходить за розрядну сітку праворуч). Такий нуль називається машинним.

Всі числа |х|≥1 також не можуть бути представлені|уявляти| в прийнятій розрядній сітці. Таке число «виходить з|із| сітки ліворуч» (переповнення розрядної сітки) і його старші розряди втрачаються|розгублюють|, результати обчислень|підрахунків| виявляються|опиняються| невірними. Тому при переповненні зазвичай|звично| відбувається|походить| автоматична зупинка машини або формується сигнал переривання програми.

Якщо кома фіксована праворуч від молодшого розряду, розрядна сітка дозволяє представляти додатні і від’ємні числа (цілі), модуль яких 1 ≤ х ≤ 2³¹ -1, що відповідає діапазону абсолютних десяткових чисел приблизно від 1 до 10⁹, а також включає 0.

При виконанні на ЕОМ обчислень|підрахунків| необхідно, щоб|аби| всі початкові, проміжні, що з’являються в процесі обчислень,|підрахунку| і кінцеві|скінченні| дані не виходили за діапазон чисел, що можуть бути подані в даній розрядній сітці. Інакше в обчисленнях|підрахунках| можуть виникнути грубі помилки. Для цього під час програмування завдання|задачі| дані для обчислень|підрахунках|, беруться з|із| відповідними масштабними коефіцієнтами.

Використання представлення чисел у ФК дозволяє спрощувати схеми ЕОМ, підвищувати їх швидкодію, але|та| створює труднощі при програмуванні. Формати з|із| ФК використовувались у перших ЕОМ.

У даний час|нині| представлення чисел з|із| ФК використовується як основне і єдине лише в порівняно невеликих за своїми обчислювальними можливостями|спроможностях| масштабах, вживаних для управління технологічними процесами і обробки вимірювальної інформації в реальному масштабі часу.

В ЕОМ, призначених для вирішення широкого кола обчислювальних завдань|задач|, основним є представлення чисел з|із| плаваючою комою, оскільки воно не вимагає масштабування даних. У комп’ютерах форма з|із| ПК використовується при переповненні чисел ФК. Причому переведення|переказ| виконується автоматично, за підпрограмою (мікропрограмою).

Часто поряд з|поряд із| ПК використовується і форма з|із| ФК, оскільки операції з|із| такими числами виконуються за менший час. При цьому в більшості випадків формат чисел з|із| ФК служить для представлення цілих двійкових чисел (кома фіксується праворуч від молодшого розряду числа) і виконання операцій над ними, що, зокрема, необхідно для операцій над кодами адрес (операції індексної арифметики).

Представлення числа з|із| ПК у загальному|спільному| випадку має вигляд|вид|:

, (1.13)

де m – мантиса числа N, | m | < 1;

p – порядок числа;

r – основа с/ч;

r^±p – характеристика числа N.

Це представлення числа називається також напівлогарифмічним, оскільки частина числа – характеристика (r^p) – подається в логарифмічній формі.

Мантиса числа m є правильним дробом.

Порядок p, який може бути додатним або від’ємним числом, визначає положення коми в числі N.

Наприклад,

Для двійкових чисел .

Нехай|нехай|, наприклад, розрядна сітка ЕОМ включає 32 розряди, а число зображають двійковим словом: , якому відповідає формат даних, показаний на рис. 3.

Рис. 3 Формат даних

Розряди використовуються для представлення порядку|ладу| p, при цьому розряд змальовує|зображає| знак порядку|ладу|, а розряди - модуль порядку|ладу|. Наприклад, порядок|лад| «-5» представляється у вигляді 1000101.

Решта розрядів відводяться під зображення мантиси m. Розряд служить для представлення знаку мантиси, а розряди – модуля мантиси.

Двійкове число називається нормалізованим, якщо мантиса m задовольняє нерівності

.

Тобто, двійкове число вважають нормалізованим, якщо в старшому розряді мантиси стоїть 1.

Оскільки для порядку|ладу| p (включаючи його знак) відведено сім розрядів, то порядок|лад| може бути цілим числом від -63 (1111111) до [phone]).

Найбільше і найменше нормалізовані додатні числа в розрядній сітці відповідно рівні

Правило нормалізації | m | ≥ ½

і .

24 одиниці

Отже, з урахуванням|з урахуванням| знаку p у розрядній сітці можна представити|уявляти| числа, що лежать в діапазоні від до і від до , що відповідає для абсолютних величин діапазону чисел приблизно від до і значно перевищує діапазон чисел з|із| ФК, представлених у тому ж 32-розрядному слові.

Число, що містить у всіх розрядах сітки 0, тобто має додатну нульову мантису і додатний нульовий порядок, називається дійсним нулем.

При фіксованій кількості розрядів мантиси будь-яка величина представляється в машині з|із| найбільшою можливою точністю нормалізованим числом. У процесі обчислен|підрахунків|ь може виходити ненормалізоване число. В цьому випадку машина |із|з ПК автоматично нормалізує його («нормалізація результату» операції).

Хай|нехай|, наприклад, ненормалізоване число .

Після|потім| нормалізації воно набере вигляду .

При виконанні деяких команд операція нормалізації блокується і отримуваний|одержувати| результат операції не піддається нормалізації.

У разі|у разі| нульової мантиси нормалізація неможлива.

В ЕОМ числа з|із| ПК представляються в шістнадцятковій системі числення відповідно до виразу|виразу| (рис. 4):

, (1> m ≥1/16).

Модуль порядку|ладу| p зображається цілим шестирозрядним двійковим числом, а мантиса m розглядається|розглядує| як число, складене з|із| шістнадцяткових цифр у вигляді|виді|:

. (1.14)

Використовуючи таку форму представлення і формат даних, отримуємо|одержуємо| діапазон для нормалізованих чисел:

від до

і від до ,

що відповідає для модулів чисел діапазону приблизно від до .

Як видно|показний|, така форма дозволяє набути значно більший діапазон чисел, ніж двійкова форма представлення|подання|.

У разі|у разі| шістнадцяткових чисел з|із| ПК число вважається|лічить| нормалізованим, якщо старша шістнадцяткова цифра відмінна від нуля|нуль-елемента|. В нормалізованому числі три старші двійкові цифри можуть дорівнювати|рівнятися| 0. Це дещо зменшує точність представлення чисел при фіксованому числі розрядів мантиси.

Зсув на один шістнадцятковий розряд виконується як зміщення мантиси відразу на 4 двійкових розряди, що дозволяє прискорити виконання деяких операцій.

Арифметичні дії над числами з|із| ПК вимагають виконання, окрім операцій над мантисами, певних операцій над порядками|ладами| (порівняння, віднімання та ін.). Для спрощення операцій над порядками|ладами| їх зводять до дій над цілими додатними числами, застосовуючи представлення чисел з|із| ПК із|із| «зміщеним порядком|ладом|».

У разі|у разі| представлення чисел із|із| зміщеним порядком|ладом| при записі числа в пам'ять до його порядку|ладу| додається ціле число – зсув |зміщення|, де - число двійкових розрядів, використовуваних для модуля порядку|ладу|.

Зміщений порядок|лад|

(1.15)

завжди додатний.

Для його представлення потрібна така ж кількість розрядів, як для модуля і знаку порядку|ладу| (рис. 5).

Важлива|поважна| особливість зміщених порядків|ладів| у тому, що, якщо для порядків|ладів| і , що є цілими числами із|із| знаками, має місце співвідношення: , то і для додатних цілих величин відповідних зміщеним порядкам|ладам| і завжди .

Для формату числа з|із| ПК, показаного на рис. 5, зсув|зміщення| . Для зберігання зміщеного порядку|ладу| виділимо сім розрядів з|із| номерами від 1 до 7, при цьому може набувати значень від (при ) до (при ).

Використання чисел з ПК у форматі слова (рис.5) відповідає обчисленням приблизно з сімома десятковими розрядами, що для ряду науково-технічних розрахунків недостатньо через накопичення помилок округлення. Тому в ЕОМ для чисел з ПК передбачений також формат подвійної довжини, що займає два машинні слова (представлення з подвоєною точністю) (рис. 6).

У форматі подвійного слова не змінюється кількість розрядів для зображення порядку|ладу| і, отже, зберігається діапазон чисел, що представляються|уявляють|, а довжина мантиси збільшується до 14 шістнадцяткових розрядів. Використання такого подання еквівалентне виконанню обчислень|підрахунків| з|із| 15-16 десятковими розрядами.

Наявність у комп’ютерах декількох довжин форматів для представлення чисел дозволяє, враховуючи вимоги задачі|задачі|, обирати або короткі формати для чисел і, тим самим, економити об'єм|обсяг| пам'яті, зайнятої даними, і знижувати тривалість окремих операцій ЕОМ, або використовувати довгі формати для отримання більшої точності.

Окрім двійкових і шістнадцяткових, комп’ютер може зберігати і обробляти також десяткові числа і алфавітно-цифрові дані (тексти).

Максимальне додаткове число, що представляється|уявляє| при цьому, дорівнює .

Найбільше від’ємне число, яке можна записати в доповняльному коді, визначимо таким чином. Вважатимемо|припускатимемо|, що найбільше від’ємне число . Тоді зображення цього числа в доповняльному коді . Якщо до числа додати|добавляти| одиницю в самий молодший розряд, то в результаті отримаємо|одержуватимемо| число -1,00..0. Перетворивши це число по формальних правилах, отримаємо|одержуватимемо| .

3. Похибки представлення чисел

Представлення числової інформації у цифровому автоматі, як правило, спричиняє за собою появу похибок (помилок), величина яких залежить від форми представлення чисел і від довжини розрядної сітки автомата.

Абсолютна похибка представлення – різниця між дійсним значенням вхідної величини та її значенням, отриманим з машинного зображення , тобто .

Відносна похибка представлення – величина

.

Вхідні величини, незалежно від кількості значущих цифр, можуть містити|утримувати| грубі похибки, що виникають через друкарські помилки, помилкові відліки показників яких-небудь приладів, некоректну постановку завдання|задачі| або відсутність повної|цілковитої| і точної інформації. Наприклад, часто приймають . Проте|однак| ця величина може бути отримана|одержувати| з|із| вищою точністю (800 знаків і більше). Якщо прийняти, що точне значення , то абсолютна похибка дорівнює .

Часто деяка величина в одній системі числення має кінцеве|скінченне| значення, а в іншій системі числення стає нескінченною величиною, наприклад, дріб має кінцеве|скінченна| десяткове представлення|подання|, але|та|, будучи переведеним|переказувати| у двійкову систему числення, стає нескінченним дробом 0,0001100110011.

Отже, при переведенні|переказі| чисел з|із| однієї системи числення в іншу, неминуче виникають похибки, оцінити які неважко, якщо відомі дійсні значення вхідних чисел.

Числа зображаються в машині у вигляді |виді|, де масштабний коефіцієнт вибирають так, щоб абсолютне значення машинного зображення числа в системі числення з|із| основою було завжди менше 1:

.

Оскільки|тому що| довжина розрядної сітки ЕОМ дорівнює двійкових розрядів після|потім| коми, то абсолютна похибка переведення|переказу| десяткової інформації в систему з|із| основою буде:

. (1.16)

Якщо , то при максимальне значення цієї похибки:

. (1.17)

З|із| останнього виразу виходить, що максимальна похибка переведення|переказу| десяткової інформації в двійкову не перевищуватиме одиниці молодшого розряду розрядної сітки автомата. Мінімальна похибка переведення|переказу| дорівнює нулю|нуль-елементу|.

Усереднена абсолютна похибка переведення|переказу| чисел у двійкову систему числення .

Для представлення чисел у формі з|із| фіксованою комою абсолютне значення машинного зображення числа:

.

Отже, відносні похибки представлення для мінімального значення числа

.

Для ЕОМ, як правило , тому 1>>2^-n, звідки .

Аналогічно, для максимального значення:

.

Звідси видно|показний|, що похибки представлення малих чисел у формі з|із| фіксованою комою можуть бути дуже значними.

Для представлення чисел у формі з|із| плаваючою комою абсолютне значення мантиси

.

Похибка - похибка мантиси. Для знаходження похибки представлення числа у формі з|із| плаваючою комою величину цієї похибки треба помножити на величину порядку|ладу| числа :

;

,

де n – кількість розрядів для представлення мантиси числа.

З|із| цих виразів виходить, що відносна точність представлення чисел у формі з|із| плаваючою комою майже не залежить від величини числа.

Дата добавления: 2015-08-21