Функции нескольких переменных. Область определения

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения

Определение. Пусть - множество точек пространства . Если каждой точке поставлено в соответствие число u, то говорят, что задана функция n переменных

или

, (3)

при этом числовые переменные называются аргументами, множество - областью определения функции и обозначается .

Определение. Число u, соответствующее точке М, называется частным значением функции в точке М, а совокупность всех частных значений функции называется множеством частных значений.

Замечание. Нас будут интересовать функции двух и трех переменных, которые соответственно обозначают , . С целью геометрического изображения для функции двух переменных применяют формулу .

Способы задания функции n действительных переменных.

1. Аналитический – функция задается явно формулой или неявно .

2. Табличный.

3. Графический (возможен только при ).

Определение. Графиком (геометрическим образом) функции двух переменных называется геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению и называемых поверхностью.

Замечание. Графиком функции одной переменной является линия на плоскости Oxy, графиком функции двух переменных является поверхность в пространстве Oxyz, для функции трех и более переменных графическое изображение, вообще говоря, невозможно.

Частные производные функций нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть - функция двух переменных x и y, точка - внутренняя точка области определения функции.

Определение. Частным приращением функции по переменной x в точке называется

. (1)

Определение. Частным приращением функции по переменной y в точке называется

. (2)

Замечание. Полное приращение функции определяется по формуле:

. (3)

Определение. Частной производной по x функции в точке называется предел отношения , частного приращения по x, к , при условии, что и указанный предел существует:

. (4)

Определение. Частной производной по y функции в точке называется предел отношения , частного приращения по y, к , при условии, что и указанный предел существует:

. (5)

Замечание. Для частных производных функции по аргументу x применяются и другие обозначения - или , а для частных производных по аргументу y - или .

Правило нахождения частных производных.

Чтобы найти частную производную по аргументу x функции , нужно применить к функции те же правила и формулы дифференцирования, что и для функции одной переменной, считая на момент дифференцирования, что другая переменная является постоянной (y = const).

При нахождении частной производной по аргументу y, считают на момент дифференцирования, что постоянной является x.

Примеры.1) .

,

2) .

, .

3) .

Замечание. Физический смысл частной производной - это скорость изменения функции в направлении оси Ох.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

, (6)

где А, В – константы, не зависящие от и , а и - бесконечно малые функции при и .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем A= , B= .

Определение. Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции называется линейная относительно приращений и главная часть полного приращения (10):

(8)

Замечание. Так как = A и = В, то (12) можно записать в виде:

(9)

Определение. Дифференциалом независимой переменной () называется её приращение, то есть

, .

Замечание. Полный дифференциал записывается в виде:

(10)

Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости.

Для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные.

Замечание. Обратная теорема не верна, из существования частных производных функции в точке ещё не следует дифференцируемости функции в этой точке.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М, то функция дифференцируема в точке М.

Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет частные производные

, .

Определение. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

Частных производных второго порядка четыре.

, ,

, . (17)

Пример. Найти частные производные второго порядка для функции

.

Решение.

, ,

, ,

, ,

.

Теорема. Если функция и её частные производные , , , определены и непрерывны в точке и в некоторой её окрестности, то в этой точке

,

то есть смешанные частные производные второго порядка равны между собой.

Аналогично можно найти частные производные третьего порядка

Определение. Частной производной n-ого порядка называется частная первая производная от частной производной (n - 1)-ого порядка.

Замечание. Результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных в случае непрерывности частных производных не зависит от порядка дифференцирования.

Дата добавления: 2015-08-13