Противоположным по отношению к событию А называется событие Ā, состоящее в не появлении А и, значит, дополняющее его до Ω.

Примеры

1) опыт – выстрел по мишени:

А – попадание в мишень

Ā – непопадание в мишень

2) опыт – подбрасывание игрального кубика:

А – появление четной цифры

Ā – появление нечетной цифры

3) опыт – подбрасывание монеты

А – герб

Ā – цифра

В частности, если два события А и Ā противоположны, то они образуют полную группу несовместных событий и

P(A) + P(Ā) = 1,

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Это свойство противоположных событий очень широко применяется в теории вероятностей. Часто бывает проще вычислить вероятность противоположного события Ā, чем вероятность интересующего нас события А. Тогда вычисляют P(Ā), вычитают ее из единицы и находят:

P(A) = 1 – P(Ā).

Выведем еще одно следствие правила сложения. Если события А и В совместны (АВ ¹ Æ), то

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Докажем его. Представим событие А + В как сумму трех несовместных вариантов.

А + В = {А, но не В} + {В, но не А} + АВ =

= АB̅ + ВĀ + АВ.

По правилу сложения

Р (А + В) = Р(А B̅) + Р(ВĀ) + Р(АВ).

Но

А = АB + АВ; Р(А) = Р(А B) + Р(АВ);

В = ВĀ + АВ; Р(В) = Р(ВĀ) + Р(АВ);

Откуда

Р(АB) = Р(А) – Р(АВ),

Р(ВĀ) = Р(В) – Р(АВ)

Дата добавления: 2015-08-13