Лекция 12. Определение перемещений в упругих системах

Любая конструкция под действием приложенных внешних нагрузок изменяет в той или иной степени свою форму и размеры – деформируется. Для проверки жесткости и устойчивости конструкции необходимо уметь определять перемещения, вызванные деформацией ее элементов. Кроме того, определение перемещений конструкции является важнейшей вспомогательной задачей при расчете статически неопределимых систем.

Методы определения этих перемещений весьма разнообразны. Они отличаются друг от друга главным образом степенью сложности и областью применения.

Исторически первым предложенным методом определения перемещений можно считать метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки. Однако в случае балок с большим количеством участков реализация этого метода сопряжена со значительными трудностями, которые заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования – составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений.

Если по условиям нагружения балка разбивается на n участков, то задача становится очень трудоемкой уже при n =3. Для уменьшения большого объема вычислительной работы, связанной с определением произвольных постоянных интегрирования, разработан ряд методов, из которых, прежде всего, отметим метод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию только двух постоянных – прогиба и угла поворота в начале координат.

Указанные методы, как и некоторые другие, носят частный характер. С некоторой натяжкой их можно признать удобными при решении ограниченного круга простейших задач.

Наиболее общим методом определения перемещений в стержневых системах является метод Мора (иногда говорят: Максвелла – Мора), в основе которого лежат два основных принципа механики: начало возможных перемещений и закон сохранения энергии. Прежде чем перейти к изложению метода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.

Обобщённые силы и обобщенные перемещения

В механике мы различаем два самостоятельных силовых фактора - сосредоточенные силы Р, пару сил с моментом m (рис. 12.1, а). Иногда приходится иметь дело с группой сил и моментов. Назовём обобщённой силой Р группу сил или моментов, характеризуемых одним параметром или числом. На рис.12.1, б,в,г обобщёнными силами будут две силы Р, два момента m, распределённая нагрузка q.

а) б)

в) г)

Рис. 12.1

Производимая ими работа соответственно равна:

где а величина представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.

Обобщённым перемещением назовём множители , стоящий в выражении работы при обобщённой силе и .

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную линейную нагрузку, распределенную моментную нагрузку), а под обобщенным перемещением – тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние:

Рассмотрим например статически неопределимую балку (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Рассечём её на расстоянии z от левого конца и приложим к краям разреза по две нормальные силы N, две перерезывающие , два изгибающих момента , каждая из которых образует группу сил, характеризуемых одним числом, т.е. обобщённую силу.

Возьмём две нормальные силы N. Они совершат работу:

Обобщённое перемещение представляет собой относительное расхождение краёв разреза. Аналогично можно рассмотреть две силы и два момента .

Обобщенные перемещения принято обозначать буквами или с двумя индексами. Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, а второй указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например, обозначает перемещение точки приложения силы F по направлению ее действия, вызванное этой же силой.

Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, при сохраняется только первый индекс.

Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой или безразмерной единичной парой , обозначается символом и называется удельным.

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена в предыдущих лекциях. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов: .

Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

, (1)

где коэффициенты зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого - для тонкостенной трубки

Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига Следовательно,

Используя формулу Журавского для касательного напряжения, найдём:

где обозначено

Дата добавления: 2015-08-09