Экспоненциальная форма выражения больших и малых чисел

a^mх aⁿ=a^m+n, a^m: aⁿ=a^m-n, где m и n - целые числа.

отрицательная степень числа становится положительной при переходе к обратному числу

Другими словами, 4 ^-7= (14)⁷, а 10^-3= (110)³.

Одной из причин, заставившей ученых настойчиво вводить экспоненциальные числа в практику, явилась необходимость работать с очень большими или очень маленькими числами. Например, масса Земли равна приблизительно 6000000000000000000000000000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма.

Вы, конечно, заметили, что при такой записи нетрудно потерять один или несколько нулей. В процессе работы ученые разработали метод выражения чисел, когда часть числа является обычным числом, а часть — экспоненциальным. Основой экспоненциальной части является число 10.

Число 10, возведенное в степень, позволяет представить в удобной форме как очень большие, так и очень маленькие числа. Это видно из приведенной ниже таблицы, которую вы можете проверить, произведя самостоятельные расчеты.

Для того чтобы убедиться в том, что число 10 хорошо вписывается в нашу систему счета, рассмотрим число 4372,654. Разобьем его на разряды и получим 4 тысячи, 3 сотни, 7 десятков, 2 единицы, 6 десятых, 5 сотых и 4 тысячные. Теперь вспомним, что 1000=10³, 100=10², 10=10¹ и так далее, и запишем число 4372,654 как (4х10³)+(3х10²)+(7х10¹)+(2х10⁰)+(6х10^-1)+(5х10^-2)+(4х10^-3).

Таким образом, мы записали на бумаге те операции, которые уже тысячи лет производят на счетах. Если ряд единиц на счетах пометить как «ноль», ряды, расположенные выше ряда единиц, обозначаем как 1, 2, 3 и так далее, а ряды, расположенные ниже ряда единиц, соответственно обозначаем как -1, -2, -3, то каждый ряд соответствует показателю степени числа 10.

Все положения арифметики, которые мы изучали, используя арабские числа, можно легко объяснить при помощи этих степеней, чего обычно не делают в школах.

Мы потратим немного времени на то, чтобы разобраться с экспоненциальными числами, и в будущем это значительно облегчит нам работу с числами.

Вначале рассмотрим положительные степени числа 10. Заметим, что в данном случае экспонента равна количеству нулей обычного числа. Таким образом, если число нулей в 1 000 000 равно шести, то экспоненциальная форма этого числа 10⁶.

Теперь, когда нам понадобится выразить в экспоненциальной форме число, состоящее не только из единиц и нулей, нужно записать его в виде выражения, включающего 10 в какой-то степени. Например, масса Земли, как мы выяснили в начале статьи, равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Это число можно представить как 6х1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Теперь самое большое число в выражении состоит из единицы и большого количества нулей, то есть его можно представить в виде степени. Поскольку количество нулей равно 27, то число можно записать в форме 10²⁷. Теперь массу Земли можно представить в экспоненциальном виде как 6х10²⁷ грамм.

Экспоненциальная форма выражения больших чисел предоставляет два очевидных преимущества. Во-первых, такая запись очень компактна, а во-вторых, ее проще прочесть — нет необходимости считать огромное количество нулей.

Для обозначения малых чисел используют 10 в отрицательной степени. Как видно из таблицы, число 10, возведенное в отрицательные степени, представляет собой обычные числа, десятичные дроби, состоящие из определенного набора нулей, расположенных правее десятичного знака и заканчивающихся единицей. Численное значение отрицательной экспоненты равно количеству нулей после запятой плюс

Например, число 0,000001 имеет пять нулей после запятой, следовательно, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10^-6.

Масса атома водорода может быть выражена в виде произведения 1,66х0,000000000000000000000001 грамма. (Если вы произведете операцию умножения, то получите ту величину, которая приведена в начале статьи.) Второй сомножитель представляет собой 10 в отрицательной степени, оно содержит 23 нуля справа от десятичного знака. Таким образом, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10^-24. Масса атома водорода в 1,66 раза больше этой величины, следовательно, масса водорода равна 1,66х10^-24.

Дата добавления: 2015-08-10