производной сложной функции

Таблица производных основных элементарных функций:

1°

(х^n)¢=n×x^n-1

, где nÎR, в частности,

()¢=1/(2 )

2°

(а^х)¢=а^х×lna

, в частности,

(e^x)¢=e^x

3°

(logax)¢=1/(x×lna)

, в частности,

(lnx)¢=1/x

4°

(sinx)¢=cosx

5°

(cosx)¢=-sinx

6°

(tgx)¢=1/cos^2x

7°

(ctgx)¢=-1/sin^2 x

8°

(arcsinx)¢=1/

9°

(arccosx)¢=-1/

10°

(arctgx)¢=1/(1+x^2)

11°

(arcctgx)¢=-1/(1+x^2)

Замечание. Формулы дифференцирования основных элементарных функций получены из определения производной непосредственным использованием формулы (***).

Основные правила дифференцирования:

Пусть с – постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные.

1° Производная постоянной равна нулю:

с¢=0

2° Производная аргумента равна 1:

х¢=1

3° Производная суммы равна сумме производных:

(u+v)¢=u¢+v¢

4° Производная произведения двух функций:

(u×v)¢=u¢×v+u×v¢

5° Постоянный множитель можно выносить на знак производной:

(с×u)¢=c×u¢

6° Производная отношения двух функций:

При дифференцировании всевозможных комбинаций сумм, произведений и частных основных элементарных функций используют правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.

Примеры. Найти производные следующих функций:

1) у= +5lnx-3

Решение:

у¢=( +5lnx-3)¢=()¢+(5lnx)¢-(3)¢=(x^2/3)¢+5(lnx)¢-0=2/3x^-1/3+5×1/x=

2) y=x×sinx

Решение:

у¢=(x×sinx)¢=x¢×sinx+x×(sinx)¢=sinx+x×cosx

3) y=

Решение:

у¢= = =

= =

Для вычисления производных от произвольных элементарных функций применяется также формула производной сложной функции:

у¢(х)=f¢(u)×u¢(x)

(здесь у=f[u(x)] – сложная функция)

Примеры. Найти производные следующих функций:

4) у=е^-х

Решение:

у¢=(е^-х)¢=е^-х×(-х)¢=-е^-х

5) у=lnsin2x

Решение:

у¢=(lnsin2x)¢= ×(sin2x)¢= ×cos2x×(2x)¢= ×cos2x×2=2ctg2x

Задачи для самостоятельного решения по теме «Производная»

Найти производные следующих функций:

2. у=1/3х³-1/2х²+2/5х+13 4. у=4х³+2х²+х-5 6. у=4х^3/4+3х^2/3+4х^1/2+3х

8. у=(2х+1)(х²+3х-1) 10. у=(х³+х²+х+1)(х-1) 12. у=

13. у=2 15. у=х(х²-4) 16. у=2х(х²+3)-3х(х²-3)

18. у= 20. у= 21. у=

24. у=3 25. у= 27. у=

30. у= 32. e^-x 34.

36. 38.

43. 3x 45. 46.

Найти производные функций и вычислить их значения при :

48. ; 50. ;

Ответы к задачам по теме «Производная»

2. х²-х+2/5 4. 12х²+4х+1 6. 3х^-1/4+2х^-1/3+2х^-1/2+3 8. 6х²+14х+1 10. 4х³ 12. 3/(4 )+1/ -4/х³-1/х² 13. 1/ -1/ 15. 3х²-4 16. –3х²+15 18. 4х/(2-х²)² 20. (х²-1)/(х²+1)² 21. –2е^х/(е^х-1)² 24. 3^хе^х(ln3+1) 25. cosx/sin²x 27. 2(5х²-2х+4)(10х-2) 30. 3х³/ 32. –х²е^-х 34. –3х/ 36. 0 38. 1/(3 )(е^3х-5)+3 е^3х 43. –3/(1+9x²) 45. –xarccosx/ -1 46. 1/(2 (1+x)) 48. 1/ ; ¼ 50. 1/(2cos2x); 1/2

Дата добавления: 2015-08-10