Беск.бол.посл. Связь с беск.мал. Св-ва б.б. посл.

функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

1. Пусть — бесконечно большие последовательности.
   По определению:
   и .
   Тогда для последовательности :
   , что означает, что последовательность — бесконечно большая.
2. Пусть последовательность — бесконечно большая, — ограниченная. Тогда по определению и .
   Рассмотрим :
   
   (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностяхи теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
   Получили:, что означает, что последовательность — бесконечно большая.
3. Доказательство аналогично предыдущему.
4. Пусть последовательность — бесконечно большая, — константа. Тогда по определению .
   Рассмотрим :
   (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
   — константа, — также константа, т.е. ограниченная.
   , что означает, что последовательность — бесконечно большая.
   (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

1. Последовательность является бесконечно большой, т.к. .
2. Последовательность является бесконечно большой, т.к. .
3. — бесконечно большая, т.к. , а — ограниченная, сохраняющая знак.
4. 
   Выберем произвольное число . Получили: , т.е. .

Дата добавления: 2015-08-09