Числовые последовательности и функции вMathcad. Построение графика функции

Mathcad позволяет при определении переменной указать для нее не одно, а упорядоченное множество равноотстоящих целых или вещественных значений. Такую переменную называют дискретной или ранжированной (range variable). Ввести значения дискретной переменной можно с клавиатуры, набрав ее первое, второе и последнее значения через запятую и точку с запятой соответственно, или соответствующей кнопкой наборной панели Matrix (Матрица). Разность второго и первого указанных значений дискретной переменной задает шаг изменения ее значений. Если он равен 1 или –1, то второе значение можно не указывать. Если выражение содержит дискретную переменную, то оно вычисляется для каждого ее значения и может быть присвоено только индексированной переменной.

1. Создайте новый документ. Определите дискретную переменную n и укажите ее значение, набрав 1;5. Выведите значение переменной. Вычислите выражение n!  ^[1]). Сколько раз было вычислено выражение?

Определите дискретную переменную m, принимающую значения 5, 3, 1, -1. Вычислите выражение m  +  n. Сколько раз было вычислено выражение? Установите указатель мыши в любую точку выведенной программой таблицы значений и щелкните левой кнопкой мыши. Каково назначение появившейся полосы прокрутки? Каково назначение других появившихся управляющих элементов таблицы? Вычислите выражение n  +  m. Сравните таблицы вывода значений выражений m  +  n и n  +  m. Каков порядок их вычисления?

2. Определите индексированную переменную x_n, набрав x[n или, используя соответствующую кнопку наборной панели Matrix (Матрица), и укажите ее значение выражением . Выведите значение переменной, указав ее имя с индексом n и без индекса (как вектор). Сравните выведенные значения. Выведите x ₀, x ₂, x ₅, x ₇. Объясните причину ошибки. Определите x ₇:=1. Выведите значение x в виде вектора.

Определите индексированную переменную y_m:= m ². Объясните причину ошибки. Замените индекс на m  + 1. Выведите значение y, указав в индексе выражение m  + 1; Выведите значение y, указав в индексе дискретную переменную n. Выведите значение y в виде вектора. Сравните выведенные значения.

Определите индексированную переменную z_n, набрав z_n:=-3,1.5,-1  ^[2]). Выведите значения переменной в таблице. Вычислите выражение . Объясните причину ошибки. Для устранения ошибки дополните таблицу ввода переменной z_n ненулевыми значениями. Добавьте в таблицу ввода еще одно значение. Было ли оно использовано в вычислениях? Выведите значение переменной z в виде вектора.

3. Создайте новый документ. Решите следующую задачу:

1) Получить таблицу значений функции для x, изменяющегося от a до b с шагом h   ^[3]):

a) e^x,    a   =  0, b   =  1, h   =  0.1;   a   =  0, b   =  1, h   =  0.01;   a   =  0, b   =  1, h   =  0.001;

b) sin  x,    a   =   - 2p, b   =  2p, ;   a   =  2p, b   =   - 2p, ;

c) ln  e^x,    a   =  0, b   =  1, h   =  0.1.

2) Вычислить n чисел Фибоначчи:  f ₁  =  1,  f ₂  =  1,  f ₃  =   f ₁ +  f ₂,...,  f_n   =   f_{n -2} +  f_{n -1},....

Укажите подходящий формат представления результатов.

Для размещения числовой последовательности Mathcad использует массив (array). Номер элемента последовательности соответствует индексу хранящего его элемента массива. Индекс первого элемента массива задается системной (встроенной) переменной ORIGIN. По умолчанию нумерация элементов массива начинается с нуля. Значения встроенных переменных можно изменять в любом месте документа, присваиванием им новых значений. Для всего документа значения встроенных переменных задаются на вкладке Built-in Variables (Встроенные переменные) команды Math / Options (Математика   /   Опции).

Размер массива ограничен. Поэтому Mathcad не позволяет определять бесконечную числовую последовательность. Однако позволяет вычислять предел бесконечной числовой последовательности, заданной общей формулой ее членов, сумму и произведение конечного числа любых ее членов. Соответствующие операторы представлены на панели Calculus (Исчисление). На этой панели представлены и операторы вычисления суммы и произведения с использованием дискретной переменной.

4. Создайте новый документ. Применяя операторы численного и символьного вычисления (знаки = и ® на наборной панели Evaluation (Оценка)^[4]) соответственно), найдите

1) пределы^[5])

a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

;

2) суммы и произведения

a)

;

b)

;

c)

;

3) сумму и произведение квадратов нечетных натуральных чисел от 1 до 20 с использованием дискретной переменной и без нее.

4) сумму n чисел Фибоначчи.

5. Создайте новый документ. Определите квадратичную функцию f (x)= аx ²+ bx + c. Для этого введите имя функции, за ним аргумент в круглых скобках и знак определения :=, за которым выражение, определяющее функцию. Определите коэффициенты квадратичной функции a, b и c, задав для них произвольные значения. Вычислите f (-1), f (2), f (3.5).

Составьте таблицу значений функции f (x) для x, изменяющегося от u до v с шагом h. Выясните, используя эту таблицу, меняет ли функция знак в области ее определения.

Имя функции в Mathcad составляется по тому же правилу, что и имя переменной, – это последовательность прописных и строчных латинских, русских, греческих и других букв (Mathcad различает регистр и шрифт), цифр, символа бесконечности (Ctrl + Shift + Z); штриха (Ctrl + F7); символов подчеркивания и процента. Имя не может начинаться с цифры, символа подчеркивания, штриха или процента. Символ бесконечности в имени должен быть только первым. В имени может присутствовать нижний индекс. Перед вводом индекса нажмите клавишу. (точка), после чего линии ввода опустятся и можно ввести индекс.

6. Определите функцию f¢ (x) – производную функции f (x), воспользовавшись оператором дифференцирования, представленным на наборной панели Calculus (Исчисление). Примените к выражению оператор символьного вывода.

Определите аналогичным образом функцию f² (x) – производную функции f’ (x).

Определите функцию f² (x) как вторую производную функции f (x), воспользовавшись оператором дифференцирования высших порядков, представленным на наборной панели Calculus (Исчисление).

7. Постройте график функции f (x) используя оба описанные ниже способа.

Если функция задана явно одной формулой, то ее график можно представить в декартовой системе координат командой Insert / Graph / X-Y Plot (Вставка  /  График  /  X-Y График), которая представлена и на наборной панели Graph. В результате применения команды в документ вставляется графический регион с шаблоном графика, содержащим два поля ввода: один для оси абсцисс, где указывается имя аргумента, другой для оси ординат, где указывается имя функция от этого аргумента. Функцию можно указать и определяющим ее выражением. Mathcad автоматически определяет границы графика, но их можно изменять в дополнительных полях ввода, появляющихся, когда курсор находится в графическом регионе. Границы можно указывать выражениями.

Используя эту же команду, можно построить график по таблице значений функции. В этом случае для оси абсцисс указывается предварительно определенная дискретная переменная, а по оси ординат – функция от этой переменной (таблица ее значений при заданных значениях дискретной переменной). Первое и последнее значения дискретной переменной определяют границы графика по оси абсцисс. Границы графика по оси ординат определяются автоматически. Mathcad изображает точки графика по значениям дискретной переменной и, если не определено иначе, соединяет их прямыми линиями. Чем меньше шаг изменения значений дискретной переменной, тем точнее строится график.

Mathcad позволяет в одном графическом регионе, используя одни и те же координатные оси, создавать несколько графиков. Для оси ординат можно указать несколько функций от одного и того же аргумента, разделяя их запятыми. Аналогично можно указать и несколько аргументов для оси абсцисс, согласуя их с функциями, указанными по оси ординат.

Командой Format / Graph / X-Y Plot… (Формат / График /  X-Y   График… ) ^[6]) можно изменить п араметры изображения (цвет, вид и толщину линий, координатную сетку, разметку осей, надписи и т.д.).

8. Выполните команду Trace… (Трассировка…)^[7]) контекстного меню графика. Нажмите левую кнопку мыши и, перемещая появившиеся линии трассировки по графику, определите координаты вершины параболы и точек пересечения ее с осями координат^[8]) и проверьте их соответствующими вычислениями.

Для просмотра деталей графика Mathcad предлагает команду Format / Graph / Zoom… (Формаг  /  График  /  Масштаб…). Она представлена и на панели Graph (График). Эта команда позволяет выделить с помощью мыши прямоугольный фрагмент графика. Координаты выделяемого фрагмента представляются в окне команды. Кнопкой Zoom этого окна можно увеличить выделенный фрагмент до размеров графика. Далее можно либо продолжать увеличение масштаба, либо отменить последнее увеличение кнопкой Unzoom, либо вернуться к первоначальному виду графика кнопкой Full View (Показать целиком), либо представить график выбранным фрагментом, нажав кнопку OK.

9. Добавьте к графику функции f (x) графики ее первой и второй производных.

10. Измените значения коэффициентов квадратичной функции. Проанализируйте выполненные программой изменения документа.

^[1]) Знак факториала (! – восклицательный знак) можно набрать с клавиатуры или соответствующей кнопкой наборной панели Calculator (Калькулятор).

^[2]) В таблице ввода значения индексированной переменной можно указывать выражениями с использованием уже определенных переменных.

^[3]) Значения дискретной переменной можно указывать выражениями с использованием уже определенных переменных.

^[4]) Оператор численного вычисления (вывода) = предлагают панели Calculator (Калькулятор) и Evaluation (Оценка). Оператор символьного вычисления (вывода) ® предлагают панели Symbolics (Символика) и Evaluation (Оценка). К результату символьного вычисления можно применить оператор численного вычисления.

^[5]) Предел Mathcad вычисляет аналитически (символьно).

^[6]) Выбор этой команды можно выполнить двойным щелчком мыши по графику.

^[7]) Команда Trace… (Трассировка…) представлена в меню Format / Graph (Формаг  /  График) и на панели Graph (График).

^[8]) Перемещение линий трассировки по графику можно выполнять мышью и клавишами перемещения курсора. Если в окне трассировки установлен флажок Track Data Points (Следовать за рядом данных), то линии трассировки следуют точно вдоль кривой. Если нет, то они могут перемещаться по всей области графика. Отображаемые в окне трассировки значения координат кнопками Copy X (Копировать X) и Copy Y (Копировать Y) можно скопировать в буфер обмена.

Дата добавления: 2015-08-09