Множества и операции над множествами

Множеством называется совокупность объектов, имеющих определённое указанное свойство (правило, признак), а отдельный объект этой совокупности – элементом этого множества.

Множество обычно обозначается заглавной буквой, а элементы множества – малыми буквами.

Например:

множество A,

элементы a,b,c.

Таким свойством может быть «принадлежность множеству», если множество задано перечислением элементов:

A = {a, b, c}

Иногда множество обозначают указывая свойство:

A = {x: свойство},

где x - общее свойство элементов множества A.

Если элемент a является элементом множества А, то говорят «а принадлежит множеству A» и пишут:

, (или ).

Запись

, (или )

означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Отношение включения обладает свойством транзитивности, т.е. если A B и B C, то A C.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается знаком

Ø, например, A = Ø

Множество A, содержащее один элемент a, обозначается A = {a} и называется одноэлементным. Поэтому один элемент всегда можно считать одноэлементным множеством.

Множество с конечным числом элементов называется конечным. Пример: множество символов алфавита.

Количество элементов в множестве называется мощностью множества и обозначается ¦A¦. Например, мощность множества «студентов в этой аудитории» ¦A¦ = 17.

Множество называется бесконечным, если число его элементов бесконечно. Например: множество точек на отрезке прямой (множество задано указанием свойства = «точка находится на заданной прямой».

Порядок расположения элементов в множестве не имеет значения.

В множестве все элементы считаются различными, поэтому запись, например, A = {a, b, b, c, d, c, e, m} неверна.

Множества A и B называются равными и обозначаются A = B, если они состоят из одних и тех же элементов (хотя определяющие свойства этих множеств разные). Например, «студенты в этой аудитории» и «студенты группы ДЭЭ-201».

Если любой элемент множества X принадлежит множеству Y, то X называют подмножеством множества Y и записывается в виде

X Y.

Символ обозначает отношение нестрогого включения.

Для любого множества

A A.

Если одновременно A B и B A, то для любых множеств A и B справедливо

A = B.

Если A B и A ≠ B, то множество A строго включается в множество B. Строгое включение обозначается

A B.

Отношение принадлежности свойством транзитивности не обладает.

Множество A называется счётным, если имеет место взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества всех натуральных чисел N.

Часто обозначают:

N - множество всех натуральных чисел: N = {1,2,3,…};

Z - множество всех целых чисел: Z = {…,-2,-1,0,1,2,…};
Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Q - множество всех рациональных чисел:

когда только дробь периодическая, в противном случае числа иррациональные Q₂;

R - множество всех действительных или вещественных чисел: R = Q и Q₂;

C - множество всех комплексных чисел;

Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A (множество A содержит множество B), называется подмножеством множества A, и при этом записывают

(или )

(см. рис. 2).

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A.

Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами, при этом записывают A = B

Иными словами, два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если A⊂J, то множество элементов множества J, не принадлежащих A, называется дополнением множества A к множеству J (см. рис. 1).

Дополнение множества A к множеству J обозначают символом C_JA, или просто CA, если известно, к какому множеству J берется дополнение.

Таким образом,

C_JA = {x: x∊J ∧ x∉A }

Если A⊂J, B⊂J, то иногда дополнение множества B к множеству A называют разностью множеств A и B и обозначают A\B (см. рис. 3), т. е.

A\B = {x: x∊A ∧ x∉B }

Пусть A и B - подмножества множества .

Объединением множеств A и B называется множество (см. рис. 4)

Аналогично, если , подмножества множества , то их объединением будет множество

Пересечением подмножеств A и B называется множество (см. рис. 5)

Аналогично, символом обозначают пересечение подмножеств , множества , т. е. множество

Если каждому сопоставлено некоторое множество , то говорят, что задано семейство множеств . В этом случае множество называют объединением семейства множеств , а множество - пересечением этого семейства.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется множество, определяемое объединением разностей A \ B и B \ A (см. рис. 6).

Симметрическую разность обозначают символом .

Два элемента a и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом .

Упорядоченную пару элементов a и b обозначают символом (a, b).

Аналогично определяется упорядоченная система из n элементов a ₁, a ₂,..., a_n, которую обозначают символом (a ₁, a ₂,..., a_n). Элементы a ₁, a ₂,..., a_n называются координатами упорядоченной системы (a ₁, a ₂,..., a_n).

Совокупность всевозможных упорядоченных пар (a, b), где , называется произведением множеств A и B и обозначается символом .

Аналогично, символом обозначают произведение множеств , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных систем (a ₁, a ₂,..., a_n), где .

Дата добавления: 2015-08-09