Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью ( в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{ x ₁, x ₂, x ₃,... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение { x_n }.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃,..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

]Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,..., 2n,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,..., 2n+1,... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;...; 3,1415926535897932384626433832;...; ;... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.

x_n - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. { x_n } или - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

Дата добавления: 2015-08-09