Последовательности.

В этой главе удобно (хотя бы частично) перейти на письменный язык математики

– язык символов и кванторов, и писать как можно меньше русского текста

(Расшифровки, тем не менее, будут! При этом появится значок. Также этот символ поможет обозначить некоторые замечания.). Приводим используемые общеупотребительные кванторы: - квантор общности (переводится, в зависимости от контекста: «всякий», «каждый», «любой», «для всякого», «для каждого», «для любого»); - квантор существования («существует», «найдется», «есть»); - квантор существования и единственности («существует, причем единственный»). Кроме того, значок символизирует новое понятие

(определение) или теорему, - пример или задачу с решением, -

приглашение подумать самостоятельно.

Если задача помечена символом , это значит, что она включает некоторые

сведения, обычно сообщаемые на поздних этапах обучения в школе, например,

в выпускном классе (показательная, логарифмическая функции и т.д.). Иногда задание

допускает решение «обходным маневром», т.е. без использования сложных фактов.

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.

Каждому номеру ставится в соответствие некоторое число, обозначаемое : ,

т.е. .

Обозначение последовательности: .

Чтобы не описывать каждую последовательность так, как это практикуется в тестах (вопрос: «Проследите заканомерность и продолжите числовой ряд...»), опишем два основных способа задания последовательностей: а) формула -го члена (формула для зависит только от ); б) рекуррентный способ (каждый член последовательности выражается через один или несколько предыдущих, при этом явно называются один или несколько (необходимое количество) начальных членов последовательности.

а) .

б) (Натуральный ряд. Узнали?); ;

(последовательность Фибоначчи).

Т.к. последовательность – частный случай функции, то на последовательности автоматически переносятся понятия «ограниченность» и «монотонность». Итак:

Определение. 1) Последовательность называется ограниченной сверху, если

.

Ни один член последовательности не может «выскочить» за некоторую (фиксированную!) границу, «потолок».

2) Последовательность называется ограниченной снизу, если

.

3) Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху,

и снизу.

Внимание! Переформулировка определения 3):

3а) Последовательность называется ограниченной, если

.

Заметим, что в определении 3) последовательность могла быть ограничена сверху и снизу различными по модулю числами. Докажите, что 3) и 3а) задают один и тот же объект, т.е. из 3) следует 3а), и наоборот. (Учтите, что число М не обязано быть наименьшим возможным, говорится только о его существовании! Например, если число А ограничивает последовательность сверху, то число А+100 также ограничивает эту последовательность сверху.)

Постройте отрицание утверждений: «последовательность ограничена сверху»; «последовательность ограничена снизу»; «последовательность ограничена»,

т.е. сформулируйте определения следующих последовательностей: не ограниченной сверху; не ограниченной снизу; неограниченной.

Полезное замечание: если последовательность ограничена с некоторого номера, то она ограничена! Докажите.

Задание: исследовать данные последовательности на ограниченность: 1)

2) 3) ; 4) 5)

6) 7) ; 8) .

Дата добавления: 2015-08-09