Теңсіздік. (Коши-Буняковский).

Егер а₁,а_2,а₃,...,а_n – теріс емес сандар болса онда Бұл теңсіздікті Коши теңсіздігі деп атайды.

Егер n=2 болса онда теңсіздік немесе болады.

1. Айнымалыларын алмастыру тәсілі.

Белгісізін алмастыру бір түрлі маңызды математикалық идея, ол арқылы теңсіздікті дәлелдегенде үнемі қиын есептерден оңай нәтижеге жетуге болады және ол олимпиадалық есептерде қолданылатындықтан бірінші алып отырмыз.

3. Коши және Коши-Буняковский теңсіздіктерін қолдану тәсілі.

1) n оң сан а₁,а_2,а₃,...,а_n –ге қарата

Гармоникалық орта Н_n=

Геометриялық орта G_n=

Арифметикалық орта А_n =

Квадраттық орта Q_n=

Бұл төрт түрлі орталарда мынадай байланыс болады: Н_n≤ G_n≤ А_n ≤ Q_n, а₁=а₂=...=а_n, болғанда теңдік орындалады.

2) Коши-Буняковский теңсіздігі:

Жоғарыдағы төрт түрлі орталар теңсіздігінде Коши теңсіздігі қамтылып кетті, олардан тағы да үнемі қолданылатын мынадай теңсіздіктерді бөліп алуға болады:

3) a²+b²+c² ab + bc + ca

4)

4. Жалпылау тәсілі.

Бұл тәсілдің ойлау жолы "себептен нәтижені келтіру", яғни берілген теңсіздікті және қатысты шарттарды негізге ала отырып, теңсіздіктердің қасиеттерін пайдаланып дәлелдеуге тиісті теңсіздікті келтіріп шығарамыз.

6. Үлкейту –кішірейту тәсілі.

Бұл тәсілде теңсіздіктің бір жағын лайықты үлкейту не кішірейту арқылы теңсіздіктің өткізгіштік қасиетінен пайдаланып дәлелденеді.

Үлкейту-кішірейту барысында үнемі қолданылатын әдіс: бірнеше оң немесе теріс мүшелерін қалдыру; қосу не көбейтуде мәлім мүшелерін үлкейту не кішірейту; бөлшек өрнектің бөлімін немесе алымын үлкейту немесе кішірейту. Бұл кездейсоқтығы күшті, қолданылуы кең маңызды тәсіл.

8. Функциялық тәсіл.

Функцияны қолдану тәсілінде теңсіздіктің қасиетіне негізделе отырып, лайықты функция ойлап тауып, онан соң екінші дәрежелі функцияның дискриминанты, функцияның тақ-жұптылығы, біркелілігі, шекаралығы қатарлы қасиеттерінен пайдаланып дәлелдейміз.

9. Кері дәлелдеу тәсілі.

Кері дәлелдеу тәсілі де теңсіздіктерді дәлелдеуде үнемі қолданылатын тәсілдердің бірі. Дәлелдеуге қиын мәселелерді қайшы жору математикалық маңызды жолдардың бірі.

10. Сан мен фигураны ұштастыру тәсілі.

Дәлелдеуге тиісті теңсіздіктің геометриялық артқы көрінісіне сүйене отырып, қажетті геометриялық фигураны ойлап тапсақ, теңсіздік дәлелдеуді тіпті де оңайлатуға, тездетуге болады.

11. Реттеу тәсілі.

Реттелген екі топ сандар а₁ ≤ а₂ ≤... ≤ а_n ; b₁ ≤ b₂ ≤... ≤ b_n , бар десек, онда а₁ b₁ + а₂ b₂ +... + а_n b_n (реттелген қосынды) ≥ а₁ b_j1 + а₂ b_j2 +... + а_n b_jn (кез келген ретпен қосынды) ≥ а₁ b_n + а₂ b_n-2 +... + а_n b₁ (кері ретпен қосынды).

Реттеу тәсілі симметриялы теңсіздіктерде ерекше кең көлемде қолданылады.

Дата добавления: 2015-08-09