Из заданий 1, 2, 3 надо решать любые два по вашему выбору!

Летняя школа интенсивного обучения «Интеллектуал»-2015

Заочная олимпиада.

Можно решить не все пункты в заданиях. Но важно, чтобы ваши решения были хорошо проверены и аккуратно записаны! Можно написать свои гипотезы, даже если их не получается обосновать.

Из заданий 1, 2, 3 надо решать любые два по вашему выбору!

Алгебра

На координатной плоскости нарисованы множества точек. Задайте каждое из них системой условий. Условия могут включать уравнения и неравенства. Можно использовать знак системы «{», означающий, что должны выполняться все указанные условия сразу. Масштаб по осям x и y одинаков.

А)	Б)
В)	Г)	Д)

Алгебра + геометрия

А) На картинке указаны площади трех прямоугольников. Найдите площадь четвертого. Можно ли найти стороны прямоугольников?

2,4	3,6
	?

Б) На картинке указаны площади пяти прямоугольников (в буквах). Как найти площади остальных прямоугольников (в буквах)?

a	b	c
d
e

В) Большой прямоугольник разбит сеткой n x n на маленькие прямоугольники (см. рисунок). Известны площади всех n прямоугольников, расположенных по диагонали, т.е. вида S (i; i), а также площади n – 1 прямоугольников, расположенных непосредственно над диагональю, т.е. вида S (i; i – 1). Сколько всего получилось маленьких прямоугольников в результате разбиения? Как можно вычислить все их площади? Если можете, напишите алгоритм или программу, позволяющую произвести необходимые вычисления.

Г*) В условиях пункта В), какое наименьшее количество площадей прямоугольников должно быть известно, чтобы заведомо можно было найти все остальные? Как они должны располагаться при этом?

Геометрия + эксперимент

Мы будем из листа бумаги складывать без пробелов и наложений тетраэдр (треугольную пирамиду).

А) Сложите тетраэдр из квадратного листа. Можно ли этот метод применить к прямоугольному листу?

Б) Сложите тетраэдр из прямоугольного (неквадратного листа). Можно ли этот метод применить к квадратному листу?

В) Придумайте способ, с помощью которого можно сложить тетраэдр как из квадратного, так и из прямоугольного листа. Придумайте еще один такой способ.

Г) Придумайте способ сложить тетраэдр из листа в виде ромба.

Д*) Придумайте примеры параллелограммов, из которых можно сложить тетраэдр. Попробуйте описать все такие араллелограммы?

В качестве решения надо для каждого пункта дать рисунок листа с проведенными на нем линиями сгибов, а также пояснить, как выбираются точки – концы сгибов и почему лист действительно сложится в тетраэдр.

Пример решения.

Покажем, как сложить тетраэдр из остроугольного треугольника. Отметим M, N и P – середины сторон, согнем треугольник по средним линиям.

Поскольку отрезки AP и PC равны, то вершины A и С совместятся. То же будет и с оставшимися парами отрезков. Получим тетраэдр с основанием MNP и вершиной A = B = C.

Подсказка. Пробуйте сложить тетраэдр из настоящих листов бумаги.

Физика (надо решать всем!)

Цель работы: сделать из фиксированного количества пластилина лодку с максимальной «грузоподъемностью».

Схема эксперимента. Сделать из 50 граммов (отклонения на пару граммов допустимы) пластилина лодку; поставить ее на воду в достаточно глубокий сосуд; с помощью шприца аккуратно наливать в неё воду до тех пор, пока лодка не утонет; измерить массу налитой в лодку воды.

В отчете укажите основные параметры, влияющие на «грузоподъемность»; кратко опишите способ достижения оптимальных значений этих параметров в вашем эксперименте; предложите способ повысить «грузоподъемность».

Укажите массу вашей лодки, серию результатов измерения ее «грузоподъемности».

Дата добавления: 2015-08-09