Ранг матрицы.

В матрице А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка. Определители таких называются минорами k-го порядка матрицы А.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы rang A, или r(A).

Элементарные преобразование матрицы:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Пример. Найти r(А), где А =

Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. Обозначим строки матрицы.

е₁ = (а₁₁а₁₂…а_1n), е₂ = (а₂₁а₂₂…а_2n),…,e_m = (а_m1a_m2…a_mn)

Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. ɻ

Строка е называется линейной комбинацией строк е₁,е₂,…,е_s матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа.

Е = λ₁е₁ + λ₂е₂ + … + λ_se_s (6)

Где λ_1, λ ₂,…., λ _s-любые числа.

Строки матрицы е₁,е₂,…,е_m называются линейно зависимыми, если существую такие числа λ _1, λ ₂,…, λ _m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

λ ₁е₁ + λ ₂е₂ + … + λ _mе_m = 0 (7)

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Если (7) верна в случаи, когда все λ_i равны нулю, то строки называются линейно независимыми.

Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Без доказательства.

Тема 2. Системы линейных уравнений. (1ч.)

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1jх_j + … + а_1nх_n = b₁;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2jх_j + … + а_2nх_n = b₂; (1)

a_i1х₁ + а_i2х₂ + … + a_ijх_j + … + а_inх_n = b_i;

a_m1х₁ + a_m2х₂ + … + а_mjх_j + … + a_mnх_n = b_m

где а_ij-коэффициенты при переменных, b_i-свободные числа.

(i = 1, 2, …, m) (2)

Если А = ; х = ; В =

еще можно записать АХ = В (2)

Решение систем (1) называется совокупность n чисел (х₁ = k₁, х₂ = k₂, … х_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы, будем изучать верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пусть матрица системы невырожденная, т.е. |А| ≠ 0. В этом случае существует обратная матрица

А^-1, АХ = В; А^-1АХ = А^-1В; х = А^-1В (3)

Равенство (3) позволяет изучить решение систем методом обратной матрицы.

Теорема Крамера.

Пусть -определитель матрицы системы А, а _j-определитель матрицы, получаемый из А заменой j-го столбцом свободных членов. Тогда, если ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по форме:

Х_j = (j = 1, 2, …, n) (4)

Без доказательства.

Пример: Решить систему уравнений.

Х₁- х₂ +х₃=3, а) метод обратной матрицы

2х₁+х₂+х₃=11, б) по формуле Крамера

Х₁+х₂+2х₃=8,

При решении методом Гаусса – с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой находятся все переменные. Переход системы к равносильной ей системе называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы-обратным ходом.

Пример: Методом Гаусса решить систему.

3х₁+2х₂+4х₃= -2

5х₁-3х₂+7х₃= -3

х₁-х₂+х₃= -1

х₁ - х₂ + х₃ = -1 х₁ = х₂ - х₃ - 1= -2

х₂ + х₃ = 1 х₂ = 1 - х₃ = 0

х₃ = 1 х₃ = 1

Вопрос о разрешимости системы рассматривается в следующей теме.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Без доказательства.

Для совместных систем линейных уравнений верны:

1) Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система (1) имеет единственное решение.

2) Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r < n, r переменных х_1, х₂, …, х_r называются основными или базисными, если определитель матрицы иэ коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n – r называются неосновными (или свободными).

Решение системы (1), в котором все n – r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(А) < n.

Рассмотрим процесс производства за год:

Х_i- общий объем продукции i-й отрасли.

Х_ij- объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью.

Y_i- объем конечного продукта i-й отрасли.

Х_i = +y_i (i= 1,2….n) (5)

Уравнение (5) называется соотношениями баланса. Введем коэффициенты прямых затрат:

А_ij = (6)

Показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство продукции j-й отрасли.

Х_ij = а_ijх_j (7)

Тогда модель межотраслевого баланса называется линейной. (5) примут вид:

(8)

Х=АХ + Y (9)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

(Е-А)Х = Y; Х = (Е-А)^-1Y – модель Леонтьева

Тема 3. Векторные пространства. (3+1ч)

Определение. n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х (х₁,…,х_n)

Два n – мерных вектора равны только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

Вектором называется направленный отрезок АВ. Длиной │АВ│ вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ.

Вектора называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Обозначается О = АА – нулевой вектор.

Произведением вектора а на число λ называется вектор b = λа, имеющий длину

│b│= │λ│а│, направление которого совпадает с направление вектора а, если λ >0, и противоположно ему, если λ <0.

Противоположным вектором называется произведение на (-1).

Сумма двух векторов находится по правилам треугольника и параллелограмма.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Разностью двух векторов и назы­вается сумма вектора и вектора .

Координатами вектора называются координаты его конечной точки.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(1)

(2)

(2а)

(3)

Суммой двух векторов размерности n называется вектор , компоненты которого равны сумме соответствую­щих компонент слагаемых векторов.

Произведением вектора х на число называет­ся вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора .

Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам:

1. + = + — коммутативное свойство;

2. ( + )+ = +( + ) — ассоциативное свойство;

3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4. — дистрибутивное относительно суммы векторов свойство;

5. — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6. Существует ( нулевой вектор =(0,0,...,0) такой, что ;

7. Для любого вектора существует ( противоположный вектор ( такой, что ;

8. .

Определение. Множество векторов с действительными компо­нентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1) – 8), называется векторным пространством.

Если под х, у, z рассматриваются векторы любой природы то соответствующее множество элементов называется линей­ным пространством.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

(4)

Определение. Векторы векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно 0, что

(5)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Определение. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов.

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R можно представить

и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Док-во:

(6)

Числа - координаты вектора х отно­сительно этого базиса.

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый .

(7)

Переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода

.

Пусть и относительно нового базиса.

(8)

Подставив из (7), получим

(9)

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число

(10)

Скалярное произведение имеет свойства:

1. ( , ) = ( , ) — коммутативное свойство;

2. ( , + ) = ( , )+( , ) — дистрибутивное свойство;

3. ( , )= ( , );

4. ()>0.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам 1) – 4), называ­ется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называ­ется корень квадратный из его скалярного квадрата:

(11)

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы n-мерного евклидова пространства обра­зуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортого­нальны и норма каждого из них равна единице.

Дата добавления: 2015-08-18