Решение типовых заданий

Типовые задания 1 – 10 предназначены длястудентовзаочной (сокращенной)

формы обучения инженерно-технических специальностей.

При решении типовых заданий 1 – 10 студенты должны использовать методические пособия [1]–[8].

1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной линиями

. Построить область .

Решение. Строим график функции (прямая). Находим: Строим график функции (парабола). Находим нули параболы: Так как , то ветви параболы направлены вверх (рис. 1). Находим точки пересечения графиков функций:

Тогда площадь плоской области вычисляется с помощью двойного интеграла, который выражается через повторный:

Рис.1.

2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями , .

Решение. Область интегрирования (рис. 2) ограничена сверху параболой , а снизу прямой . Пределы интегрирования и

определяются из системы уравнений:

Отсюда получаем уравнение:

или , которое имеет корни , . Таким образом, пределы интегриро-

вания , . Тогда площадь плоской области вычисляется с по-

мощью двойного интеграла, который выражается через повторный:

3. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

Решение. Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке находится по формуле

Так как на кривой , то причем точке от-

вечает значение , а точке отвечает значение . Тогда получим:

4. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке .

Решение. Работа силы при перемещении вдоль отрезка прямой от точки к точке находится по формуле

Запишем каноническое уравнение прямой , проходящей через точки и :

Отсюда следует параметрическое уравнение прямой :

Тогда получим:

5. Найти циркуляцию силы при перемещении вдоль контура

(обход по контуру происходит против часовой стрелки).

Решение. Циркуляция силы при перемещении вдоль контура

находится по формуле

Точки пересечения линий и находим из системы уравнений:

На кривой меняется от до , а на кривой

меняется от до . Тогда получим:

6. Проверить потенциальность и соленоидальность векторного поля

.

Решение. Векторное поле является потенциальным, если ротор поля равен нулю: . Ротор поля в базисе дается формулой:

Находим:

Следовательно, , а, значит, век-

торное поле не является потенциальным.

Векторное поле является соленоидальным, если дивергенция поля равна нулю: . Дивергенция поля в базисе дается формулой:

Находим:

Следовательно, , а, значит, векторное поле не

является соленоидальным.

7. Вычислить

Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:

8. Вычислить интеграл , используя основную теорему теории

вычетов. Построить контур интегрирования.

Решение. Контуром интегрирования является окружность . Сравни-

вая общий вид уравнения окружности с , находим:

. В комплексной плоскости переменной строим окружность

(рис. 3). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-

теля: – полюсы первого порядка подынтег-

ральной функции. Точка попала внутрь области, ограниченной ок-

ружностью . Используя основную теорему теории вычетов и фор-

мулу для вычета в полюсе первого порядка, ,

находим:

9. Вычислить интеграл , используя основную теорему

теории вычетов. Построить контур интегрирования.

Решение. Контуром интегрирования является окружность .

Сравнивая общий вид уравнения окружности с , находим:

. В комплексной плоскости переменной строим окружность

(рис. 4). Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-

теля:

–

полюсы второго порядка подынтегральной функции. Точка попала

внутрь области, ограниченной окружностью . Используя основную

теорему теории вычетов и формулу для вычета в полюсе порядка,

, находим:

10. Вычислить производную аналитической функции в точке

Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, на-

ходим:

11. Решить задачу Коши операционным методом.

Решение. Обозначим изображение Лапласа для оригинала через

Используя формулу для изображения производной и таблицу

изображений, находим:

Тогда, подставляя найденные выражения в исходное дифференциальное

уравнение, получим:

Коэффициенты и находим методом вычеркивания, а коэффициенты и

– общим методом:

Следовательно, для изображения получим выражение:

Отсюда, используя таблицу изображений, находим искомое решение:

12. Вычислить и

Решение. 1) Запишем комплексное число в показательной форме:

. Находим:

Тогда по правилу возведения комплексного числа в дробную степень получим:

Здесь использовали формулу Эйлера:

2) Запишем комплексное число в показательной форме:

. Находим:

Тогда по правилу возведения комплексного числа в целую степень получим:

Здесь также использовали формулу Эйлера:

13. Найти изображение для оригинала .

Решение. Используя формулу тригонометрии , запишем

выражение для оригинала в виде: . Нахо-

дим изображения функций, входящих в выражение для , используя свой-

ства преобразования Лапласа и таблицу изображений элементарных функций:

Тогда получим:

14. Восстановить оригинал по его изображению

.

Решение. Находим оригиналы изображений, входящих в выражение для ,

используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений элемен-

тарных функций:

Тогда получим:

Литература

[1]. С. Л. Авакян, Е. З. Авакян, Ю. Д. Черниченко. Практическое пособие «Дифференциальные уравнения. Ряды. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля» к контрольным заданиям по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей, часть 3, № 2949, 2004 г.

[2]. С. Л. Авакян, Е. З. Авакян, Ю. Д. Черниченко. Практикум «Дифференциальные уравнения. Ряды. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля» к контрольным заданиям по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей, часть 3, № 2816, 2003 г.

[3]. Ю. Д. Черниченко, А. В. Емелин. Курс лекций «Ряды. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля», часть 1 по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов дневной и заочной форм обучения, в том числе и на электронном носителе, № 3993, 2010 г.

[4]. Ю. Д. Черниченко, А. В. Емелин. Курс лекций «Ряды. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля», часть 2 по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов дневной и заочной форм обучения, в том числе и на электронном носителе, № 4031, 2011 г.

[5]. А. А. Бабич. Практикум к контрольным заданиям по дисциплине «Выс-

шая математика», разделы «Теория функций комплексного перемен-

ного. Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математичес-

кая статистика», № 2199, 1997 г.

[6]. А. А. Бабич. Практическое руководство к контрольным заданиям по дис-

циплине «Высшая математика», разделы «Теория функций комплекс-

ного переменного. Операционное исчисление. Теория вероятностей.

Математическая статистика», № 2231, 1997 г.

[7]. Е. З. Авакян, С. Л. Авакян, С. И. Тимошин. Практическое руководство

«Теория функции комплексного переменного и операционное исчисле-

ние» к контрольным заданиям по одноименному разделу курса «Мате-

матика» для студентов заочного отделения технических специальнос-

тей, часть 4, № 2948, 2004 г.

[8]. Е. З. Авакян, С. Л. Авакян, С. И. Тимошин. Практикум «Теория функ-

ции комплексного переменного и операционное исчисление» к конт-

рольным заданиям по разделу «Математика» для студентов заочного от-

деления технических специальностей, часть 4, № 2950, 2004 г.

Составил: доцент Черниченко Ю.Д.

Дата добавления: 2015-08-18