Дифференциальные уравнения системы

Математический анализ. Колкер Л. Ф.

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

1. Функции многих переменных. Точечные множества в n-мерном пространстве. Окрестность точки. Граница множества. Открытые, замкнутые множества. Определение функции многих переменных. Способы задания. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Поверхности второго порядка. Предел функции многих переменных. Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Частные приращения и частные производные функции многих переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение функции многих переменных. Дифференцируемость. Дифференциал, его связь с частными производными. Частные дифференциалы. Линеаризация функции. Дифференцирование сложной функции многих переменных. Полная производная. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявная функция. Теорема существования неявной функции. Дифференцирование неявной функции.

2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве старших смешанных производных. Формула Тейлора для функции многих переменных. Операторная запись формулы Тейлора.

3. Экстремумы функции многих переменных. Локальные экстремумы. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

4. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля и его свойства. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

Кратные интегралы

1. Интегралы по мере. Фигура, диаметр, мера фигуры. Задача о массе фигуры. Определение интеграла по мере. Свойства интегралов. Классификация.

2. Двойной интеграл. Механическая и геометрическая интерпретация. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах.

3. Тройной интеграл. Механическая и геометрическая интерпретация. Вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Общий метод замены переменных в кратных интегралах. Якобиан перехода, геометрическая интерпретация якобиана.

4. Применение двойных и тройных интегралов. Вычисление площадей и объемов. Решение задач механики и физики.

Дифференциальные уравнения системы

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Построение интегральных кривых по изоклинам. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли, уравнения в полных дифференциалах. Понятие об особых решениях диф. уравнений первого порядка. Уравнения Лагранжа и Клеро.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

3.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения. Свойства решений. Линейно независимые решения. Определитель Вронского и его свойства. Структура общего решения линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Неоднородные линейные уравнения. Свойства решений. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами. Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений и общего решения по корням характеристического уравнения. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида. Нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов.

5. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Однородные системы. Построение фундаментальной системы решений и общего решения по корням характеристического уравнения (метод Эйлера).

Ряды.

1. Числовые ряды. Определение числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения рядов. Признаки сходимости: Даламбера, Коши, интегральный признак. Свойство коммутативности сходящегося положительного ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Функциональные ряды. Определение и область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, по членное интегрирование и дифференцирование.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов.

5. Ряды Тейлора и Маклорена. Условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Тейлора для функций e^x, sinx, cosx, (1+x)^m. Интегрирование биномиального ряда. Разложение функций ln (1+x), arctg x, arcsin x в ряды Тейлора.

6. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Лекции(36час)

Дата добавления: 2015-08-18