Задачи и примеры

Практическая работа №7

«Основы математической статистики. Элементы корреляционного анализа»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории (исходный уровень)

1. Основные понятия математической статистики

2. Генеральная совокупность и выборка.

3. Вариационный и интервальный статистические ряды.

4. Полигон частот и гистограмма.

5. Точечная и интервальная оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

6. Порядок статистической обработки экспериментальных данных.

7. Статистическая обработка данных лабораторного эксперимента.

8. Теория погрешностей.

9. Обработка результатов непосредственных и косвенных измерений

10. Правила оформления результатов лабораторных работ.

11. Элементы корреляционного анализа (лекция №2)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Задачи и примеры

Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения

1. Произвести измерения N величин и записать результаты измерений в протокол.
2. По результатам измерений построить вариационный ряд.

2.1.- в измеренных величинах найти величину (х_min) с наименьшим значением и величину (х_max) с наибольшим значением.

2.2.-определить размах вариации R, представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами совокупности (R = x_max- x_min).

2.3.-по числу элементов совокупности N определим число классов К на которые следует разбить совокупность измеренных величин. При N≤100 К определим по формуле

K= 1+3,32 lg N, при N›100 К определим по формуле K= 5 lg N.

2.4.-определить величину классового интервала λ, как частное от деления размаха вариации R на число классов К, λ =R/К = (x_max- x_min)/ К.

Если окажется, что λ=1, собранный материал распределяется в безынтервальный вариационный ряд; если λ≠1, исходные данные необходимо распределить в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна соответствовать точности принятой при измерении величин.

2.5.- определить ширину классов входящих в интервальный вариационный ряд в которых расположатся все измеренные величины от x_max до x_min.

Ширина первого класса имеет протяженность от x_min до x_min+λ, т.е.[ x_min ÷ x_min+λ].

Ширина второго класса имеет протяженность от x_min+ λ +10^-5λ до x_min+2λ, т.е.

[ x_min+ λ +10^-5λ ÷ x_min+2λ], где 10^-5λ незначащее число и применяется для того, чтобы разграничить числа находящиеся на границе классовых интервалов и используется во всех классах для различия начала нового класса от конца предыдущего класса.

Ширина К-того класса имеет протяженность от x_min+(К-1) (λ +10^-5λ) до x_max, т.е.

[x_min+(К-1) (λ +10^-5λ) ÷ x_max], где x_max= x_min +К λ.

2.6.- найти среднее значение каждого класса х_m. Среднее значение каждого класса равно полусумме значений начала и конца класса без незначащего числа 10^-5λ, т.е.

х_m=(x_min+(I-1) λ +x_min+Iλ)/2, где I принимает значения от 1 до К (I =1;2;…К).

2.7.- определить количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. получить n₁, n₂,… n_К

2.8. – определить относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i= n_i/ N. Найти р₁, р₂,… р_К.

1. На основании пункта 2 заполнить таблицу:

N=
xmax= xmin= R = xmax- xmin=
K= 1+3,32 lg N=
λ =R/К = (xmax- xmin)/ К=
Классные интервалы			…	К
Границы клас-сных интервалов	[ xmin ÷ xmin+λ]	[ xmin+ λ +10^-5λ ÷ xmin+2λ]	…	[xmin+(К-1) (λ +10^-5λ) ÷ xmax]
Среднее значе-ние классного интервала хm	xmin+λ/2	xmin+3λ/2	…	xmin+(К+1)λ/2
Количество ве-личин входящих в класс ni	n1	n2	…	nК
Частота попа-дания величин в класс рi= ni/ N	р1= n1/ N	р2= n2/ N	…	рК= nК/ N
(хm)I*pi	(xmin+λ/2)р1	(xmin+3λ/2)р2	…	(xmin+(К+1)λ/2)рК

1. По полученным данным построить графики вариационных рядов.

4.1. - полигон частот; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат частоту попадания величин в класс. Высота перпендикуляров, восставляемых на ось абсцисс, соответствует частоте классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника называемую полигоном распределения частот. Линия соединяющая вершины перпендикуляров, называют вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда.

4.2. – гистограмма; по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов, по оси ординат – частоты интервалов. В результате получается совокупность прямоугольников. т.е. гистограмма распределения.

4.3. – кумулята; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат – накопление частоты интервалов (накопление частот находят последовательным суммированием или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда, т.е. например в третьем классе накопленная частота будет соответствовать сумме частот трех классов) с последующим соединением точек прямыми линиями, получается график называемый кумулятой. Имеет вид S-образной кривой.

4.4. – огива; по оси абсцисс откладывают частоты, а по оси ординат значение классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, полученный график называют огивой.

При построении вариационной кривой масштабы на осях прямоугольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобы основание кривой было в 1,5 –2,0 больше ее высоты.

5. Определить основные характеристики варьирующих величин.

5.1. – средняя арифметическая ; найти произведение среднего значения каждого класса (х_evi) _i на относительную частоту р_i попадания количества элементов n_i из измеренных N величин в каждый класс, т.е. р_i*(х_m)_i. Найти р_1*(х_m) ₁, р_2*(х_m)₂,... р_К*(х_m)_К. и по формуле определить среднее арифметическое

5.2. – дисперсия s_x² или σ²;

5.2.1. - найти отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е. (х_m)_I- ,

5.2.2. – возвести в квадрат отклонение среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического ,т.е.[ (х_m)_i- ]²,

5.2.3. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_m от среднего арифметического на относительную частоту попадания в класс р_i, т.е.

[ (х_m)_i- ]²*р_i и по формуле определить дисперсию;

5.2.4.Установлено, что рассчитываемая по формуле дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину, равную N/(N-1). Эта величина называется поправкой Бесселя. Разность (N-1)=k называют числом степеней свободы под которыми понимают число свободно варьирующих величин в составе численно ограниченной совокупности.

Несмещенная дисперсия и среднеквадратичное отклонение определяются;

5.2.4.1. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса х_evi от среднего арифметического на количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. найти [ (х_m)_i- ]²*n_i и по формуле определить несмещенную дисперсию,

5.2.4.2. – среднее квадратическое отклонение s_x есть показатель, представляющий корень квадратный из дисперсии,

6.На основании пункта 5 заполнить таблицу:

			…	К
(хm)I- ,	(хm)1- ,	(хm)2- ,	…	(хm)К- ,
[ (хm)i- ]^2,	[ (хm)1- ]^2	[ (хm)2- ]^2	…	.[ (хm)К- ]^2
умножить ква[ (хm)i- ]^2*рi	[ (хm)1- ]^2*р1	[ (хm)2- ]^2*р2	…	[ (хm)К- ]^2*рК
определить дисперсию
[ (хm)i- ]^2*ni	[ (хm)1- ]^2*n1	[ (хm) 2- ]^2*n2		[ (хm)К- ]^2*nК
определить несмещенную дисперсию,
Определить среднее квадратическое отклонение sx

7. Определить соответствие вариационного распределения нормальному закону;

7.1. – найти нормированное отклонение t. Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения, называют нормированным отклонением и находят по формуле,

7.1. – Для соответствующих классов найдем функцию нормированного отклонения f(t) по таблице или по формуле,

7.2. – найдем выравнивающие частоты вариационного ряда f^I (t). Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а абсолютные значения случайной величины, т.е. выравнивающие частоты вариант эмпирического распределения нужно f^I (t) найти по формуле,

8. На основании пункта 7 заполним таблицу:

			…	К
нормированное отклонение t			…
нормированного отклонения f(t)			…
выравнивающие частоты вариационного ряда f^I (t)			…

9. На графике полигона частот построить точки соответствующие выравнивающей частоте вариационного ряда, вычисленная по нормальному закону.

10. Записать значение исследуемой величины с границами доверительного интервала.

Таблица: Значения функции

(ординаты нормальной кривой)

t	Сотые долиt
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0	0001		0001	0001	0001	0001		0001	0001

Лекция 2.

Элементы математической статистики. Случайная величина. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Примеры различных законов распределения. Нормальный закон распре­деления.

Генеральная совокупность и выборка. Гистограмма. Оценка пара­метров нормального распределения по опытным данным. Доверительные ин­тервалы для средних. Интервальная оценка истинного значения измеряемой величины. Применение распределения Стьюдента для определения доверительных ин­тервалов. Методы обработки медицинских данных.

Теория погрешностей, порядок обработка результатов прямых и косвенных измерений. Понятие о корреляционном анализе.

Дата добавления: 2015-08-18