Путем сведения его к повторному

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b (a < b), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [ a, b ]. Если любая прямая, параллельная координатной оси О у и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N ₁ и N ₂ (рис.1), то такую область назовем правильной в направлении оси О у. Аналогично определяется область, правильная в направленииоси О х. Область, правильную в направлении обеих координатных осей, будем называть просто правильной. Например,правильная область изображена на рис.3.

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

, (14)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Рис.3

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D, правильная в направлении О у, разбита на две подобласти D ₁ и D ₂ прямой, параллельной оси О у или оси О х, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D ₁ и D ₂:

. (15) Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D ₁ и D ₂, правильные в направлении О у. Тогда

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении О у области D ₁ и D ₂ (рис.2). Обозначим через M ₁ (a ₁, h) и M ₂ (b ₁, h) точки пересечения прямой y = h с границей L области D.

Рис.4.

Область D ₁ ограничена непрерывными линиями

1) y = φ ₁(x);

2) кривой А ₁ М ₁ М ₂ В, уравнение которой запишем y = φ ₁*(x), где φ ₁*(х) = φ ₂(х) при а ≤ х ≤ а ₁ и b ₁ ≤ x ≤ b, φ ₁*(х) = h при а ₁ ≤ х ≤ b ₁;

3) прямыми x = a, x = b.

Область D ₂ ограничена линиями y = φ ₁*(x), у = φ ₂(х), а ₁ ≤ х ≤ b ₁.

Применим к внутреннему интегралу теорему о разбиении промежутка интегрирования:

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ +

+ .

Поскольку φ ₁*(х) = φ ₂(х) при а ≤ х ≤ а ₁ и b ₁ ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I_D = , то есть .

Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(16)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

I_D = f(P)S, (17)

где Р – точка, принадлежащая области D.

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

= (18)

Теорема 2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (19)

Доказательство.

Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей Δ S ₁, Δ S ₂,…, Δ S_n. Тогда по теореме 1

.

Из (16) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число I_D. Переходя к пределу при , получим равенство (19).

Пример 1.

Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.5).

Рис. 5

Здесь а = 0, b = 1, φ ₁(x) = 0, φ ₂(x) = 1 – x.

Тогда

3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из него луча (полярной оси).

Рис. 6 Рис. 7

Координатами точки М в этой системе (рис. 6) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М( ρ,φ ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Замечание. Если ограничить значения φ интервалом [0,2π] или [-π, π], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат (ρ,φ). В других случаях можно считать, что φ может принимать любые значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 7). Тогда x=ρ cosφ, у =ρsinφ. Отсюда , tg .

Правильной областью в полярных координатах назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.8).

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ ₁(φ) и ρ=Φ ₂(φ), где φ _{1 <} φ < φ ₂, непрерывную функцию z = f(φ, ρ). Разобьем область D на части Δ S_ik, ограниченные лучами ρ = ρ _{i- 1} и ρ = ρ _i, выходящими из полюса, и дугами окружностей φ = φ _{k -1} и φ = φ _k с центром в полюсе, и составим интегральную сумму , где P_ik – произвольная точка, принадлежащая Δ S_ik. Найдем площадь части Δ S_ik, не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов:

Рис. 8

, где . Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области, стремятся к нулю при и , получим:

(20)

Пример 2.

Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса R с центром в начале координат:

Пример 3.

Вычислим, используя полярные координаты, двойной интеграл

,

где D – часть кругового сектора единичного радиуса с центром в начале координат, расположенная в 1-м квадранте.

Заданный интеграл в полярных координатах по указанной области имеет вид:

Дата добавления: 2015-08-13