Образ и ядро линейного оператора.

Опр.1.Пусть A линейный оператор A Множество M значений линейного оператора А т.е.совокупность М векторов вида Ах, где х пробегает все , называется образом простран­ства при преобразовании А и обозначается так: im А.

Таким образом, = A( ). Ясно, что (т. е. является подмножеством ). Другими словами, образ пространства—это множество тех векторов у, для которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Теорема1.Если - фиксированный базис ,то - -- это линейная оболочка столбцов матрицы А,

= .

Действительно, произвольный элемент имеет вид y=Ax или y=. .Следовательно,

= .

Cледствие. — линейное подпространство в .

Опр.. Раз­мерность подпространства называется рангом оператора А

Пример. Рассмотрим преобразование А, состоящее в проектировании трехмерного пространства R в пло­скость XY. Очевидно, что образ этого преобразования есть плоскость XY.

Упражнение. Написать матрицу произвольного преобразо­вания А: в базисе, первые k векторов которого являются базисом в образе пространства при этом преобразовании.

Другим важным подпространством, связанным с оператором А является ядро преобразования А, состоящее из всех векторов, перехо­дящих при этом преобразовании в нуль.

Определение. Множество всех аргументов х линейного операто­ра А, для которых называется ядром этого оператора и обо­значается так:

Теоорема2. Ядро линейного оператора A есть подпространство простран­ства .

Действительно, если. _ф. то

Точно так же, если то т. е. есть подпространство простран­ства .

Упражнение. Написать матрицу линейного преобразования А: в базисе, первые k векторов которого есть базис ядра.

Теорема о размерностях.. Пусть А — произвольный линейный оператор A . Сумма размерностей ядра и образа оператора А равна n- размерности пространства .

dimkerA+dimimA=n.

Доказательство. Предположим, что ядро оператора пре­образования А имеет размерность k. Выберем в базис из векторов и дополним его до базиса во всем пространстве .

Рассмотрим векторы Множество линейных комбинаций этих векторов образует подпростран­ство, которое совпадает с — образом оператора А..

Действительно, пусть —произвольный вектор из .Тогда, по определению, существует вектор такой, что Так как _—базис в , то. Но так как —

базис в ядре), то i

Покажем, что векторов линейно независи мы. Действительно, пусть существуют числа , не равные одновременно нулю и такие, чтс Рассмотрим вектор Тогда

= >

т. е. х принадлежит ядру. Мы пришли к противоречию, поскольку, с одной стороны, х как элемент ядра пред­ставим как линейная комбинация первых k базисных векторов, а, с другой стороны, был задан как линейная комбинация Это противоречит единственно сти представления вектора х через векторы базиса. Следовательно, векторы линейно независимы. Мы показали, что существует ' линейно независимых векторов таких, что любой вектор образа есть линейная комбинация, т. е. размерность образа равна что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть А — произвольный линейный оператор A иrangA=r, тогда dimkerA=n-r.

Теорема2. Пусть А — линейный оператор .А инъективен тогда и только тогда,когда kerA=0.

В самом деле: инъективность оператора А означает, что уравнение Ах=у имеет не более одного решения .Поэтому, если бы ядро содержало не нулевой элемент , то его сумма с любым решением уравнения Ах=у дала бы второе решение этого уравнения так как А(х+ )=Ах+А = =у+0=у.

Наоборот, пусть kerA=0. Тогда, если для какого то у уравнение

Ах=у имеет более одного решения А =y и А =y, то вычитая

одно из другого, получим А( - )=0, т.е. ядро содержит не нулевой элемент. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Теорема3.. Пусть А — линейный оператор .А сюръективен тогда и только тогда,когда imA=R .

В самом деле: сюръективность оператора А означает, что уравнение Ах=у имеет по крайней мере одно решения ., т.е. является образом некоторого и потому imA=R .

Наоборот, пусть imA=R .Это означает,что является образом некоторого т.е. уравнение Ах=у имеет по крайней мере одно решения ., , что и означает сюръективность оператора А.

Следствие. Пусть А — линейный оператор отображающий R в самое себя .А сюръективен тогда и только тогда, когда А инъективен.

Результат сразу вытекает из теоремы о размерностях ядра и образа.

Дата добавления: 2015-08-05