Формула Н.Е.Жуковского для определения скорости распространения ударной волны при гидравлическом ударе

Вторую формулу, позволяющую вычислить скорость ударной волны при гидравлическом ударе, Н.Е.Жуковский получил, применяя закон сохранения массы для объёма жидкости, заключённого между сечениями 1 и 2: разность массы жидкости, прошедшей через сечения 1 и 2 за время dt, равна изменению массы жидкости в объёме, ограниченном сечениями 1 и 2:

m₂ – m₁ = m_t2 – m_t1 (12)

В уравнении (12) приняты следующие обозначения.

Масса жидкости m₂, вошедшая в рассматриваемый участок трубопровода через сечение 2 за промежуток времени dt:

m₂ = r S V₀ dt. (13)

Масса жидкости m₂, вышедшая из рассматриваемого участка трубопровода через сечение 1 за промежуток времени dt:

m₁ = (r +dr) (S +dS) (V₀ +DV) dt. (14)

Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₁:

m t1 = a dt S×r. (15)

Масса жидкости между сечениями 1 и 2 в момент времени t₂:

m t2 = a dt (S +dS) (r + dr). (16)

Раскроем разность m 2 - m 1 с использованием (13) и (14), произведём сокращения

одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми малого порядка, имеющими в качестве сомножителей dS или d r:

m₂ – m₁ = – rS ×DV ×dt. (17)

Раскроем разность m t 2- m t 1 с использованием (13-16), раскроем скобки, произведём сокращения одинаковых слагаемых с разными знаками и пренебрежём слагаемыми более высокого порядка, имеющими в качестве сомножителей произведение dS × d r:

m t2 – m t1 = a × dt ×(S d r + r dS). (18)

Подставив выражения (17) и (18) в уравнение (12), получим:

– rS ×DV = a dt ×(S d r + r dS). (19)

или

DV = – a ( + ). (20)

Н.Е.Жуковский использовал полученные им соотношения (11) и (20) для вывода формулы скорости распространения ударной волны a через геометрические и физические характеристики трубы. Из (11) и (20) следует:

= – a ( + ) (21)

или

= a ² ( + ). (22)

Выразим относительное изменение плотности через параметры процесса:

= – , (23)

где K - модуль упругости жидкости.

Учитывая, что V = , вычислим выражение , полагая DV» dV:

= = . (24)

Полагая в формуле (23) Dp = p sh, получим выражение для относительного изменения плотности:

= . (25)

Выразим относительное изменение площади поперечного сечения трубопровода при ГУ dS/S через параметры процесса.

Если площадь поперечного сечения трубы S равна:

S = 2 p r,

то изменение площади сечения при изменении радиуса трубы на dr будет равно:

dS = 2p r ×dr.

Таким образом:

= . (26)

Напряжение в стенке трубы, возникающее во время гидравлического удара, можно вычислить двумя способами. Во-первых, по закону Гука:

= E , (27)

а также по формуле:

= = , (28)

где - толщина стенки трубы.

Из уравнений (27) и (28) следует:

= E = . (29)

Используя выражение (26), получаем:

= . (30)

Подставим в уравнение (22) полученные соотношения (25) и (30):

= a ² ( + ). (31)

или

= a ² ( + ), (32)

где - диаметр трубы.

Получаем формулу Н.Е.Жуковского:

a= . (33)

В этой формуле символом a ₀ обозначена скорость распространения звука в жидкости:

= . (34)

6. Учёт различных факторов при расчёте допустимых нагрузок на трубопровод

В процессе эксплуатации трубопроводных систем в результате изменения режима работы, срабатывания рабочей арматуры и т.д. неизбежно возникают интенсивные волновые (колебания давления, гидроудары) и вибрационные процессы, которые приводят к возникновению переменных во времени напряжений в стенках трубопроводов и появлению с течением времени трещин или малозаметных деффектов.

Выше были выведены формулы для расчёта напряжений при ГУ. Сейчас же выведем соотношения для расчёта допустимых нагрузок при ГУ.

Для определения напряжений в стенках трубопровода будем полагать, что помимо рабочего давления P_p на него действуют переменные во времени нагрузки- пульсации давления и вибрации. Радиальные и осевые напряжения от пульсации давления могут быть определены по формулам:

s_pr = s_r = , s_pt = , (35)

где DP – амплитуда колебаний давления, D – диаметр трубопровода, d - толщина стенки.

Максимальное напряжение, вызванное вибрацией трубопровода, можно определить, используя зависимость:

s_v = V_{e max} , (36)

где V_{e max} - максимальное значение виброскорости, E - модуль упругости, r - удельная масса трубопровода, c - коэффициент, учитывающий распределение амплитуд виброскорости по трубопроводу; для прямолинейного участка трубопровода c =3.

Суммарное напряжение в осевом направлении от действия пульсаций давления и вибрации определяется по формуле:

s_t =s_pt + s_v. (37)

Таким образом трубопровод находится в сложном напряжённом состоянии, характеризуемым действием циклического изгиба от вибрации и растяжением стенки трубопровода от пульсации давления.

При двухосном напряженном состоянии запас усталостной прочности трубопровода можно определить по формуле Гафа и Полларда, которая применима и в случаях синфазного изменения s_t и s_r:

, (38)

где n – запас усталостной прочности трубопровода, n_r – запас усталостной прочности трубопровода в предположении, что напряжения s_t отсутствуют, n_t – запас усталостной прочности трубопровода в предположении отсутствия напряжений s_r.

Напряжения, вызваемые пульсациями давления, являются недопустимыми. Для гашения волновых и вибрационных процессов используются стабилизаторы давления, что позволяет уменьшать амплитуду пульсаций давлений, среднеквадратичное значение виброскорости. Стабилизаторы давления позволяют уменьшить напряжения от пульсаций давления и вибраций, тем самым уменьшается негативное влияние на трубопровод и обеспечивается безаварийная эксплуатация даже в случае ГУ.

Дата добавления: 2015-08-03