Раздел 3. Элементы матричного анализа. Векторы

Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1. n -мерный вектор. Определение, линейные преобразования.

2. n -мерное векторное пространство. Определение, линейные (не)зависимые вектора.

3. Размерность векторного пространства. Базис. Координаты вектора в базисе.

4. Евклидово пространство. Определение, свойства, длина вектора.

5. Скалярное произведение.

6. Векторное произведение.

7. Смешанное произведение векторов.

8. Двойное векторное произведение.

9. Линейные операторы. Определение, свойства, действия над линейными операторами.

10. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Задания для аудиторной самостоятельной работы

1. На плоскости относительно некоторого базиса даны координаты трех векторов: ;

1) Найти координаты векторов ; .

2) Проверить, что векторы и образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в этом базисе.

3) Определить при каком значении параметра векторы и будут коллинеарными.

4) Найти координаты вектора .

5) Вычислить , .

6) Найти косинус угла между векторами и .

2. В пространстве относительно некоторого базиса даны координаты трех векторов: .

1) Найти координаты векторов , .

2) Вычислить ; .

3) Найти косинус угла между векторами и .

3. На плоскости относительно декартовой системы координат даны координаты трех точек: ;

Найти:

1. Координаты вектора .

2. Координаты точек , делящих отрезки в отношениях , соответственно.

1. Площадь треугольника .
2. Угол .

Индивидуальное домашнее задание

Задание № 1. Даны векторы а =α m +β n и b =γ m +δ n, где | m |=k, | n |= l, (m,^n)=φ.

Найти: 1) (λ а +μ b)*(ν а +τ b); 2). пр _b (ν а +τ b); 3). Cos(a,^ τ b).

№ вар.	α	β	γ	δ	ķ	l	φ	λ	μ	ν	τ
	-5	-4					5π/3	-2	1/3
	-2			-1			π			-2
		-2	-3	-1			4π/3			-1
			-6	-4			5π/3	-1	1/2
		-2	-4				π/3		-3
		-5	-3				2π/3		-4
			-4	-2			4π/3		-3		-1/2
				-4			π		-2		-4
	-3	-2					4π/3	-1
		-3					2π/3		-1/2
	-2			-6			5π/3		-1/3
	-2	-4					7π/3	-1/2
			-1				3π/2		-3
	-2						2π	-3
		-3					4π/3	-3			-1
	-5						π	-3	1/2	-1
		-2					π/2				-2
		-3					5π/3		-1/2
		-5	-1				2π/3		-5
		-5	-2				3π/2				-2
	-5	-6					π	-2
	-7						π/3			-1
			-6				2π/3				-1/2
	-5	-7	-3				3π/2	-3		-1
		-8	-2				4π/3		-3
	-3						5π/3	-2			-2
	-3			-6			π			-3	-1
		-7	-1	-3			4π/3		-2
			-4	-2			5π/3	-2	-1/2
		-3	-2				π/3		-1/2

Задание № 2. По координатам точек А, В, С для указанных векторов найти:

1). Модуль вектора а; 2). Скалярное произведение векторов а и b; 3).проекцию вектора с на d; 4). Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α:β.

№	А	В	С	а=	b=	c=	d=	l	α	β
	(4,6,3)	(-5,2,6)	(4,-4,-3)	4CB-AC	AB	CB	AC	AB
	(4,3,-2)	(-3,-1,4)	(2,2,1)	-5AC+2BC	AB	AC	BC	BC
	(-2,-2,4)	(1,3,-2)	(1,4,2)	2AC-3BA	BC	BC	AC	BA
	(2,4,3)	(3,1,- 4)	(-1,2,2)	2AB+4AC	BA	b	AC	BA
	(2,4,5)	(1,-2,3)	(-1,-2,4)	3AB-4AC	BC	b	AB	AB
	(-1,-2,4)	(-1,3,5)	(1,4,2)	3AC-7BC	AB	b	AC	AC
	(1,3,2)	(-2,4,-1)	(1,3,-2)	2AB+5CB	AC	b	AB	AB
	(2,-4,3)	(-3,-2,4)	(0,0,-2)	3AC- 4CB	c	AB	CB	AC
	(3,4,- 4)	(-2,1,2)	(2,-3,1)	5CB+4AC	c	BA	AC	BA
	(0,2,5)	(2,-3,4)	(3,2,-5)	-3AB+4CB	c	AC	AB	AC
	(-2,-3,-4)	(2,- 4,0)	(1,4,5)	4AC- 8BC	c	AB	BC	AB
	(-2,-3,-2)	(1,4,2)	(1,-3,3)	2AC- 4BC	c	AB	AC	BC
	(5,6,1)	(-2,4,-1)	(3,-3,3)	3AB- 4BC	c	AC	AB	BC
	(10,6,3)	(-2,4,5)	(3,-4,-6)	5AC-2CB	c	BA	AC	CB
	(3,2,4)	(-2,1,3)	(2,-2,-1)	4BC-3AC	BA	AC	BC	AC
	(-2,3,- 4)	(3,-1,2)	(4,2,4)	7AC+4CB	c	AB	CB	AB
	(4,5,3)	(- 4,2,3)	(5,-6,-2)	9AB- 4BC	c	AC	AB	BC
	(2,4,6)	(-3,5,1)	(4,-5,-4)	-6BC+2BA	c	CA	BA	BC
	(-4,-2,-5)	(3,7,2)	(4,6,-3)	9BA+3BC	c	AC	BC	BA
	(5,4,4)	(-5,2,3)	(4,2,-5)	11AC-6AB	BC	AB	AC	BC
	(3,4,6)	(-4,6,4)	(5,-2,-3)	-7BC+4CA	BA	CA	BC	BA
	(-5,-2,-6)	(3,4,5)	(2,-5,4)	8AC-5BC	c	AB	BC	AC
	(3,4,1)	(5,-2,6)	(4,2,-7)	-7AC+5AB	c	BC	AC	AB
	(4,3,2)	(-4,-3,5)	(6,4,-3)	8AC-5BC	c	BA	AC	BC
	(-5,4,3)	(4,5,2)	(2,7,- 4)	3BC+2AB	c	CA	AB	BC
	(6,4,5)	(-7,1,8)	(2,-2,-7)	5CB-2AC	AB	CB	AC	AB
	(6,5,- 4)	(-5,-2,2)	(3,3,2)	6AB-3BC	c	AC	CB	BC
	(-3,-5,-6)	(3,5,- 4)	(2,6,4)	4AC-5BA	CB	BA	AC	BA
	(3,5,4)	(4,2,-3)	(-2,4,7)	3AB- 4AC	AB	BA	AC	BA
	(4,6,7)	(2,- 4,1)	(-3,-4,2)	5AB-2AC	c	BC	AB	AB

Задание № 3.

Доказать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координатывектора d в этом базисе.

№ варианта	a	b	c	d
	(5,4,1)	(-3,5,2)	(2,-1,3)	(7,23,4)
	(2,-1,4)	(-3,0,-2)	(4,5,-3)	(0,11,-14)
	(-1,1,2)	(2,-3,-5)	(-6,3,-1)	(28,-19,-7)
	(1,3,4)	(-2,5,0)	(3,-2,-4)	(13,-5,-4)
	(1,-1,1)	(-5,-3,1)	(2,-1,0)	(-15,-10,5)
	(3,1,2,)	(-7,-2,-4)	(-4,0,3)	(16,6,15)
	(-3,0,1)	(2,7,-3)	(-4,3,5)	(-16,33,13)
	(5,1,2)	(-2,1,-3)	(4,-3,5)	(15,-15,24)
	(0,2,-3)	(4,-3,-2)	(-5,-4,0)	(-19,-5,-4)
	(3,-1,2)	(-2,3,1)	(4,-5,-3)	(-3,2,-3)
	(5,3,1)	(-1,2,-3)	(3,-4,2)	(-9,34,-20)
	(3,1,-3)	(-2,4,1)	(1,-2,5)	(1,12,-2j)
	(6,1,-3)	(-3,2,1)	(-1,-3,4)	(15,6,-17)
	(4,2,3)	(-3,1,-8)	(2,-4,5)	(-12,14,-31)
	(-2,1,3)	(3,-6,2)	(-5,-3,-1)	(31,-6,22)
	(1,3,6)	(-3,4,-5)	(1,-7,2)	(-2,17,5)
	(7,2,1)	(5,1,-2)	(-3,4,5)	(26,11,1)
	(3,5,4)	(-2,7,-5)	(6,-2,1)	(6,-9,22)
	(5,3,2)	(2,-5,1)	(-7,4,-3)	(36,1,15)
	(11,1,2)	(-3,3,4)	(-4,-2,7)	(-5,11,-15)
	(9,5,3)	(-3,2,1)	(4,-7,4)	(-10,-13,8)
	(7,2,1)	(3,-5,6)	(-4,3,-4)	(-1,18,-16)
	(1,2,3)	(-5,3,-1)	(-6,4,5)	(-4,11,20)
	(-2,5,1)	(3,2,-7)	(4,-3,2)	(-4,22,-13)
	(3,1,2)	(-4,3,-1)	(2,3,4)	(14,14,20)
	(3,-1,2)	(-2,4,1)	(4,-5,-1)	(-5,11,1)
	(4,5,1)	(1,3,1)	(-3,-6,7)	(19,33,0)
	(1,-3,1)	(-2,-4,3)	(0,-2,3)	(-8,10,13)
	(5,7,-2)	(-3,1,3)	(1,-4,6)	(14,9,-1)
	(-1,4,3)	(3,2,-4)	(-2,-7,1)	(6,20,-3)

Задание № 4.

Выяснить являются ли следующие векторы линейно зависимыми:

Дата добавления: 2015-07-26