Адаптивные методы прогнозирования

В прогнозировании большую роль играют адаптивные методы, цель которых заключается в построении самонастраивающихся моделей, которые способны учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда.

В основе адаптивного направления лежит простейшая модель экспоненциального сглаживания. Простейшая адаптивная модель основывается на вычислении экспоненциально взвешенной скользяще средней.

Экспоненциальное сглаживание исходного временного ряда х_t осуществляется по рекуррентной формуле:

где S_t — значение экспоненциальной средней в момент t, а S_t-1 - в момент t-1;

α — параметр сглаживания, адаптации, α = const, 0 < α < 1; β = 1 - α.

Выражение экспоненциальной средней можно представить в виде:

В этой формуле экспоненциальная средняя в момент t выражена как сумма экспоненциальной средней предшествующего момента S_t-1, и доли α отклонения текущего наблюдения х_t от экспоненциальной средней S_t-1, момента t - 1.

Последовательно используя рекуррентное соотношение можно выразить экспоненциальную среднюю S_t, через все предшествующие значения временного ряда:

где S₀ - величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы средней при t = 1.

Так как β = (1 - α) < 1, то при

Отсюда следует, что

т.е. величина S_t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. При этом веса изменяются экспоненциально в зависимости от давности наблюдения, откуда и название S_t — экспоненциальная средняя.

Из последней формулы следует, что увеличение веса более свежих наблюдений может быть достигнуто повышением α. В то же время для сглаживания случайных колебаний временного ряда х_t величину α нужно уменьшить. Два названных требования находятся в противоречии и на практике при выборе α исходят из компромиссного решения.

Существует несколько вариантов адаптивных моделей, которые используют процедуру экспоненциального сглаживания и позволяют учесть наличие у временного ряда х_t тенденций и сезонных колебаний. Рассмотрим некоторые из таких моделей.

Адаптивная полиномиальная модель первого порядка. Рассмотрим алгоритм экспоненциального сглаживания, предполагающий наличие у временного ряда х_t линейного тренда. В основе модели лежит гипотеза о том, что прогноз может быть получен по уравнению:

где - прогнозируемое значение временного ряда на момент (t + τ);

- оценки адаптивных коэффициентов полинома первого порядка в момент t;

τ — величина упреждения.

Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков для модели имеют вид:

где β = 1- α, а оценка модельного значения ряда с периодом упреждения τ равна:

Для определения начальных условий первоначально по данным временного ряда х_t находим методом наименьших квадратов оценки линейного тренда:

и принимаем и . Тогда начальные условия определяются как:

Дата добавления: 2015-07-24