Свойства радикальной оси

Радикальная ось двух окружностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Свойства радикальной оси

§ Радикальная ось является прямой. Поскольку степень точки относительно окружности равна x ² + y ² + Ax + By + C, где коэффициенты A, B и C определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получим , а это уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.

§ Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.

§ Если P — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки P к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

§ Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, содержащая их общую хорду, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

Построение радикальной оси двух окружностей

§ Если прямые, содержащие хорды AB и CD первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник ABCD вписанный. Это несложно доказать: пусть P — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна , а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и . Так как , то точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что AB — общая хорда первой и третьей, а CD — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные по двум точкам, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

Радикальный центр трёх окружностей

§ Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть Ω₁,Ω₂,Ω₃ — окружности, а P — точка пересечения радикальной оси окружностей Ω₁ и Ω₂ с радикальной осью окружностей Ω₂ и Ω₃. Если — степень точки A относительно окружности ω, то по определению радикальной оси , и точка P лежит на радикальной оси окружностей Ω₁ и Ω₃

§ Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).

§ Антигомологические хорды двух окружностей пересекаются на их радикальной оси.

§ Пусть ABCD — четырёхугольник, прямые AB и CD пересекаются в точке E, BC и AD — в F. Тогда окружности, построенные на отрезках AC, BD и EF, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников ABE, CDE, BCF и ADF (прямая Обера — Штейнера).

Дата добавления: 2015-07-24