Тепловое излучение. Применение распределения Бозе-Эйнштейна к тепловому излучению. Теоретические сведения.

Все нагретые тела испускают электромагнитное излучение (ЭМИ). Средняя мощность излучения, испускаемого с единицы поверхности тела, называется интенсивностью излучения (энергетической светимостью). Максимум интенсивности в спектре равновесного теплового излучения нагретого до температуры тела приходится приближенно на волну длиной, определяемой законом смещения Вина:

,

где константа = 2,9 мм·К - постоянная Вина.

Абсолютно черное тело (АЧТ) – (идеальное) тело, полностью поглощающее весь падающий на него поток ЭМИ. Моделью АЧТ является полое тело с абсолютно непрозрачными (непропускающими ЭМИ) стенками и очень маленьким отверстием, через которое ЭМИ попадает в эту полость, и, отражаясь от стенок, образует трехмерные стоячие электромагнитные волны (ЭМВ). ЭМИ находится в термодинамическом равновесии со стенками полости, то есть температуры вещества и поля одинаковы. Поэтому тепловое излучение АЧТ является равновесным.

Вследствие закона излучения Кирхгофа [5,7] тело, которое при данной температуре сильнее поглощает ЭМИ, должно интенсивнее излучать. Поэтому наибольшей интенсивностью теплового излучения обладает АЧТ. Интенсивность ЭМИ АЧТ можно вычислить по закону Стефана-Больцмана:

,

где = 56,7 нВт/(м² K⁴) - постоянная Стефана-Больцмана.

а б в

г

Рис. 2.5. Распределение массивных бозонов в различных областях значений энергии: а - при К все бозоны расположены на самом нижнем энергетическом уровне; б - при К и небольших значениях энергии; в, г - при К и больших значениях энергии

Распределение энергии излучения АЧТ по спектру при заданной температуре рассчитывается по закону излучения Планка, полученному им на основе экспериментальных данных:

,

где величина - испускательная способность АЧТ - энергия излучения, испускаемого единицей площади поверхности тела в единицу времени, отнесенная к единичному интервалу частот.

Закон излучения Планка теоретически был получен А. Эйнштейном при изучении квантовых переходов атомов, находящихся в равновесии с ЭМИ. Каждой стоячей волне можно сопоставить колеблющейся с такой же частотой линейный гармонический осциллятор (ЛГО). При переходе ЛГО в состояние с меньшей энергий, в виде кванта энергии ЭМВ излучается фотон. Чем выше энергия ЭМВ с данной частотой, тем больше число фотонов такой частоты в полости, и, следовательно, тем большее число таких фотонов излучается. Так как весь спектр частот ЭМИ в полости занимает область много большую, чем интервал между соседними частотами, его можно считать непрерывным. В таком представлении полость нагретого излучающего тела рассматривается как объем, заполненный газом фотонов различных типов (различной энергии). Количество фотонов в полости не фиксировано, они могут рождаться и умирать. Кроме того, фотоны не локализованы: нельзя сказать, в каком месте полости находится каждый фотон.

Фотоны обладают энергией и спином, равным единице. Импульс безмассового фотона, движущегося в вакууме со скоростью света , . Однако, каждой частоте отвечает не три (), а два типа фотонов, так как вдоль заданного направления могут распространяться две поперечных ЭМВ, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Поэтому можно считать, что одному фотону отвечает два возможных спиновых состояния. Учитывая это и подставив в равенство (2.10) выражение для импульса фотона, определим концентрацию состояний [8] с частотами в диапазоне от до [5]:

.

В формуле (2.23) легко распознается распределение (2.22), чего и следовало ожидать, принимая во внимание, что фотоны, из которых состоит ЭМИ, относятся к классу безмассовых бозонов и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна при равном нулю химическом потенциале:

.

Формула (2.25) позволяет найти среднее число фотонов с энергией в полости при температуре . Чем выше температура, тем больше число фотонов. Чем фотоны более высокочастотные, тем меньше их возникает при данной температуре.

В соответствии с равенством (2.11) концентрация фотонов с частотами в диапазоне от до в излучении АЧТ, получится, если умножить концентрацию состояний вблизи частоты (2.24) на среднее число фотонов, находящихся в данном состоянии, то есть обладающих энергией, отвечающей данной частоте (2.25):

.

Среднюю энергию излучения с частотой можно рассматривать как сумму энергий фотонов с энергией , то есть как произведение энергии одного фотона на среднее число фотонов, обладающих данной энергией (2.25):

.

Объемная плотность энергии излучения в диапазоне частот от до определяется произведением концентрации соответствующих фотонов (2.26) на энергию одного фотона:

,

где объемная плотность излучения АЧТ, отнесенная к единичному интервалу частот

,

связана с испускательной способностью АЧТ соотношением: . Формула (2.27), как и (2.23), называется законом излучения Планка.

Дата добавления: 2015-07-24