Понятие погрешности числа

Действия над приближенными величинами.

Погрешности. Погрешность арифметических действий. Погрешность функций.

Ваша цель:

1. Научиться определять абсолютную и относительную погрешности числа;
2. научиться определять верные значащие цифры числа;
3. научиться определять погрешности функций.

Понятие погрешности числа

Пусть - точное значение,
- приближенное значение некоторой величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .

Относительной погрешностью [1] значения (при 0) называется величина .

Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида: .

В этом случае истинное значение a находится в интервале (а^* - ∆а, а^* + ∆а).

Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Пример 1

Найти абсолютную и относительную погрешности приближенного числа e.

Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7.

Граница абсолютной погрешности | e - e* |=|2,71828-2,7|=|0,01828| < 0.019,

относительная погрешность числа =0,01828/2,7=0,007

При неизвестном истинном значении a для приближённого числа a ^*, полученного в результате округления, абсолютная погрешность ∆а^* принимается равной половине единицы последнего разряда числа.

Приведём примеры оценки абсолютной погрешности при некоторых значениях приближенной величины а^*.

a^*	51,7	-0,0031		16,00
∆а^*	0,05	0,00005	0,5	0,005

Предельное значение относительной погрешности: δа^*=∆а^*/|а^*|

Пример 2

δ(-2,3)=0.05/2,3≈0,022(2,2%).

Погрешность округляется всегда в сторону увеличения: δ(-2,3)≈0,03.

Приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи чисел все значащие цифры верные.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 3

Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.0 3589, 10.4920, 0.00 456200.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 4

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.

Если , то верных цифр в числе 5: a = 356.78 245.

Если , то верных цифр в числе 7: a = 356.7824 5.

Говорят, что число a^* является приближением числа a с d значащими цифрами, если d является наибольшим положительным целым числом, для которого выполняется условие:

Пример 5

a) Определить число значащих цифр для приближения числа x =3.141592, которое равно x^* =3.14.

. Следовательно, x^* приближает x с двумя значащими цифрами.

b) Определить число значащих цифр для приближения числа y =1 000 000, которое равно y^*= 999996

. Следовательно, y^* приближает y с пятью значащими числами.

Дата добавления: 2015-07-20