Общие сведения. Приближенное интегрирование функций

Приближенное интегрирование функций

Общие сведения.

Если подынтегральная функция задана в аналитическом виде , непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1. Вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной.

2. Значения функции заданы таблично, т.е. на фиксированном конечном множестве точек .

Поэтому важное значение имеют приближенные и, в первую очередь, численные методы вычисления определенных интегралов.

Приближенные методы рассмотрим на примере представления подынтегральной функции в виде степенного ряда (ряда Тейлора), что позволит свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего собой первые несколько членов ряда.

Пример. Вычислить интеграл с погрешностью .

Воспользуемся разложением экспоненты в ряд: .

Используя данный ряд, и заменяя в нем на , записываем интеграл

Методы численного интегрирования являются универсальными методами, которые пригодны для обоих случаев. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции интерполяционными многочленами.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции, т.е. заданной таблично.

Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой. Поэтому соответствующие формулы называются квадратурными.

Напомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Пусть на отрезке задана функция с помощью точек . Разобьем отрезок на элементарных отрезков , , причем .

На каждом из этих отрезков выбираем произвольную точку и найдем произведение значения функции в этой точке на длину элементарного отрезка

(4.1)

Составим сумму всех таких произведений

(4.2)

Сумма называется интегральной суммой.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения. При этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.

(4.3)

Геометрический смысл проиллюстрируем на рисунке

Выражения (4.1) описывают площади элементарных прямоугольников, интегральная сумма (4.2) – площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками.

При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех элементов верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию . Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу.

Дата добавления: 2015-07-20