Приближенное решение систем линейных уравнений.

Приближенное решение систем уравнений.

Рассмотрим сущность итерационного метода при решении систем линейных уравнений на примере. Пусть дана система Ax=B, где А= (а_ij) - матрица коэффициентов при переменных х_ij размерности n ´ n, x= (x ₁, x ₂, …, x_n) - матрица переменных, - матрица свободных членов. Она может быть преобразована к эквивалентной ей системе вида x=Bx+c, где В и с - некоторые новые матрица и свободный член соответственно. Данную систему можно трактовать как задачу о неподвижной точке линейного отображения В в пространстве R _n и определить последовательность приближений х ^{( k )} к неподвижной точке х^* рекуррентным равенством x ^{( k +1)}= Bx ^{( k )}+ c, k= 0, 1, 2, …. Итерационный процесс, начинающийся с некоторого значения называется методом простых итераций.

Пусть исходная линейная система уравнений имеет вид:

(1)

При решении этой системы необходимо:

I. Задать начальное приближенное решение (индекс в скобках указывает номер итерации), которое будет уточняться в процессе итераций. При этом надо учитывать, что, если метод сходится, то он сходится при любом начальном приближении. Обычно в качестве начального приближения, в зависимости от задачи, берутся либо вектор правых частей и тогда , либо нулевой вектор и тогда .

II. Привести исходную систему (1) к виду, удобному для проведения итераций, то есть к виду

(2)

где - произвольные линейные функции переменных , причем некоторые переменные могут отсутствовать в правых частях системы (2), но каждая переменная должна присутствовать в левой части соответствующего уравнения.

III. Указать совокупность действий, которые составляют одну итерацию (переход от к ). Достаточно рассмотреть два алгоритма вычисления корней уравнений системы.

1. Метод простой итерации записывается в виде:

Первая итерация выглядит следующим образом:

;

Затем, на каждом следующем шаге значение верхних индексов увеличивается на единицу. В итоге, на последнем шаге система имеет вид:

. (3)

2. Метод Зейделя (обобщение метода простой итерации) заключается в следующем: уже полученные значения переменных используются при вычислении остальных искомых переменных на этой итерации. То есть имеет место:

;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . (4)

Применяя каждый из методов, необходимо учитывать, что метод Зейделя сходится на порядок быстрее метода простой итерации.

IV. Выяснить условия сходимости итерационного процесса. При решении практических задач используется следующая теорема: Если матрица А исходной системы имеет диагональное преобладание, то методы простой итерации и Зейделя сходятся.

Определение. Матрица А= исходной системы называется имеющей диагональное преобладание, если выполняются следующие условия:

V. Указать условия окончания итерационного процесса. В этой роли обычно выступает оценка , где ε - наперед заданная точность вычислений.

Дата добавления: 2015-07-20