Решение типовых задач. При изучении темы «Прямая и плоскость в пространстве» следует выполнить

Введение

При изучении темы «Прямая и плоскость в пространстве» следует выполнить индивидуальное задание. Для этого необходимо по указанной литературе изучить теоретические материалы и устно ответить на поставленные вопросы. Для упрощения работы при выполнении индивидуального задания приведены способы решения типовых задач.

Плоскость и прямая в пространстве

Изучить теоретический материал /1, стр.308-320; 2, стр.345-353/ и ответьте на вопросы:

1) Как проверить, лежит ли данная точка на поверхности, заданной своим уравнением?

2) Какое множество точек в пространстве определяется уравнением вида F(x;y)=0?

3) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнения других поверхностей?

4) Какое уравнение называется общим уравнением плоскости?

5) Что называется нормальным вектором плоскости?

6) Как расположена плоскость относительно системы координат, если в ее уравнении отсутствует:

а) свободный член?

б) одна из координат?

в) две координаты?

г) одна из координат и свободный член?

д) две координаты и свободный член?

7) Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

8) Как вычисляются углы между двумя плоскостями?

9) Как можно найти расстояние от точки до плоскости?

10) Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

11) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?

12) Что называется направляющим вектором прямой?

13) Как записываются параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки?

14) Как записываются параметрические уравнения прямой?

15) Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

16) Какие уравнения называются общими уравнениями прямой?

17) Как вычисляются углы между прямыми, между плоскостью и прямой?

18) Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости?

Решение типовых задач

Задача 1.Составить уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

П.1.Если получили , то переходите к решению задачи номер 2. Если же вы испытываете затруднение при решении этой задачи, то обратитесь к П.2.

П.2.Воспользуемся уравнением связки плоскостей, проходящей через точку : , где координаты нормального вектора плоскости. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор данной плоскости. Итак, Подставив все эти величины в уравнение связки плоскостей, получим искомый результат: или

Задача 2. Найти расстояние от точек и до плоскости , а также определить их взаимное расположение относительно этой плоскости.

П.1.Если вы получили то переходите к решению задачи 3.В другом случае рассмотрите решение задачи в П.2.

П.2.Искомое расстояние находится по формуле

Поскольку выражения, стоящие под знаком модуля имеют разные знаки, то точки М и О находятся по разные стороны от плоскости

.

Задача 3.Даны координаты точек

Найти уравнение плоскости , проходящей через эти точки.

П.1.Если вы получили , то переходите к решению задачи 4, в другом случае обратитесь к П.2.

П.2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, имеет вид:

(1)

Подставив в (1) координаты точек получим:

,

Задача 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

П.1.Если вы получили то переходите к решению задачи номер 5.В другом случае обратитесь к П.2.

П.2.Воспользуемся уравнением связки плоскостей, проходящих через точку : , здесь В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор

откуда

Окончательно получим:

.

Задача 5. Составить уравнение плоскости α проходящей через точки

и перпендикулярно плоскости (β)

П.1.Если вы получили , то переходите к решению задачи 6. В другом случае обратитесь к П.2.

П.2.Воспользуемся уравнением связки плоскостей, проходящих через точку :

В качестве точки, через которую проходит искомая плоскость, можно взять любую из данных точек и . Возьмем точку , тогда

Вектор перпендикулярен вектору и вектору , следовательно

Отсюда и окончательно получим:

Задача 6. Прямая задана как пересечение плоскостей:

и . Требуется перейти к каноническому уравнению.

П.1.Один из возможных ответов:

Если вы решили задачу, переходите к решению задачи 7. Если задача вами не решена, обратитесь к П.2.

П.2. Каноническая форма уравнения прямой имеет вид:

, где точка через которую проходит прямая, а ее направляющий вектор.

Находим координаты точки , положив для этого и решая систему:

Находим направляющий вектор

Откуда окончательно получим

Задача 7.Выяснить, расположены ли прямые

в одной плоскости.

П.1. Если вы получили, что прямые не лежат в одной плоскости, то переходите к решению задачи 8. В другом случае обратитесь к П.2.

П.2.Условия расположения двух прямых в одной плоскости равносильны условию компланарности трех векторов:

, ,

Так как то

Условием компланарности трех векторов является равенство нуля определителя, составленного из координат этих векторов. Составим определитель:

следовательно, прямые не лежат в одной плоскости.

Задача 8.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

: и точку

П.1. Один из возможных ответов .Если вы решили эту задачу, то переходите к задаче 9.В другом случае обратитесь к П.2.

П.2. Воспользуемся уравнением связки плоскостей, проходящих через заданную точку

здесь За нормальный вектор плоскости возьмем вектор (рис. 1)

А

Рис.1.

, ,

откуда . Окончательно получим

Задача 9.Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

П.1. Если вы получили

то переходите к решению задачи 10. В другом случае обратитесь к П.2.

П.2. Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . (рис. 2).

Рис. 2.

Так как úú , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. и уравнение прямой имеет вид:

.

Перейдем к параметрическим уравнениям

, , ,

Для нахождения точки решим систему

Таким образом получим

Задача 10. Найти проекцию точки на прямую, заданную как пересечение двух плоскостей: и

П.1.Если вы получили

то переходите к выполнению индивидуального задания. Если нет, то обратитесь к П.2.

П.2. Работу следует проводить по следующей схеме:

а) Заданную прямую записать в виде канонического уравнения (см.задачу 6).Получаем:

б) Через точку проводим плоскость, перпендикулярно прямой, полученной в П.2 а):

,

в) Находим точку пересечения этой прямой с полученной плоскостью:

Эта точка и будет проекцией точки на заданную прямую.

Дата добавления: 2015-07-20