Система плоских прямоугольных координат

Необходимость введения системы плоских координат вызывалась тем, что эллипсоидальная геодезическая система, будучи наиболее общей и удобной при изучении научных проблем высшей геодезии, изображении всей Земли на картах и решении геодезических задач на значительные расстояния, становится сложной и малопригодной в массовых геодезических работах по созданию съемочного обоснования топографических карт и различных инженерных сооружений. Координаты этой системы (широта и долгота) выражаются в угловых единицах, линейное значение которых меняется вместе с широтой места; направления меридианов, от которых отсчитываются азимуты, непараллельны и необходим специальный учет этой непараллельности; формулы, служащие для решения различных геодезических задач, чрезвычайно сложны и громоздки.

Поэтому система эллипсоидальных геодезических координат применяется только при мелкомасштабном картографировании. При крупномасштабном картографировании и в повседневной геодезической практике удобнее применять систему геодезических плоских прямоугольных координат, так как она позволяет проводить все вычисления по наиболее простым формулам геометрии и тригонометрии. Однако для этого необходимо изобразить поверхность эллипсоида на плоскости. Такое отображение его поверхности, выполняемое по тому или иному математическому закону, называется картографической проекцией или просто проекцией. Детально различные способы проектирования поверхности эллипсоида на плоскость рассматриваются в математической картографии.

Существует много равноугольных проекций но ни одна из них не позволяет отобразить всю поверхность эллипсоида системой координат с единым началом, так как искажения становятся очень большими и трудно учитываемыми. Поэтому поверхность земного эллипсоида при изображении его на плоскости делят на части или зоны, каждая из которых имеет свое собственное начало и свою систему координат. Достоинство любой проекции определяется как числом зон, на которое необходимо делить всю поверхность эллипсоида, так и удобством перевычисления координат из зоны в зону, а также однотипностью построения зон и вычислений в них.

Всем этим условиям удовлетворяет равноугольная проекция Гаусса - Крюгера. В ней земной эллипсоид делится на зоны меридианами, т. е. каждая зона охватывает значительную территорию от северного до южного полюса Земли. Изображения каждой зоны на плоскости совершенно одинаковы, что определяет однообразие плоских координат в них и применение одних и тех же формул и таблиц при вычислениях в разных зонах. Переход из зоны в зону также осуществляется по одним и тем же таблицам и формулам. Эти преимущества проекции Гаусса - Крюгера обусловили ее широкое распространение и широкое признание.

Она была разработана Гауссом в 1825 - 1830 гг., но практическое распространение получила после вывода Крюгером в 1912 г. рабочих формул, удобных для вычислений в этой проекции. Поэтому ее называют проекцией Гаусса - Крюгера, но часто просто проекцией Гаусса. На рис. 3 показано деление земного эллипсоида на координатные зоны меридианами с постоянной разностью долгот. Средний меридиан каждой зоны называется осевым, а ограничивающие зону меридианы - граничными.

Рис.3. Преобразования Гаусса

В России ширина зон по долготе установлена в 6 и 3°, причем последние применяются в районах крупномасштабных съемок и строительства инженерных сооружений.

Крайним западным меридианом первой зоны является гринвичский меридиан. Счет зон ведется от Гринвича на восток от 1 до 60. Территория СНГ расположена в 29 6-градусных зонах (с 4-й по 32-ю). Осевые меридианы 3-градусных зон расположены через 3° по долготе и поочередно совпадают с граничными и средними меридианами 6-градусных зон. Каждая зона представляет собой сфероидический двуугольник с самостоятельной системой координат. Осями ее являются осевой меридиан и экватор. Положение точки Q на эллипсоиде в каждой зоне определяется широтой В, отсчитываемой от экватора к северу и югу, и долготой L, отсчитываемой от осевого меридиана к западу и востоку. Проектируется каждая зона на плоскость независимо от остальных, образуя свою собственную систему прямоугольных координат, причем за ось абсцисс принимается изображение осевого меридиана зоны, а за ось ординат - изображение экватора. Началом координат служит точка пересечения осевого меридиана с экватором. Изображение точки Q ^/ эллипсоида на плоскости определяется прямоугольными координатами x и y, причем абсциссы отсчитываются к северу и югу от экватора, а ординаты - от осевого меридиана со знаком плюс к востоку и со знаком минус - к западу от него. Для территории России все абсциссы имеют только положительное значение. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, условились прибавлять к ординатам 500 000 м и перед ними указывать номер зоны.

Определение направления линий относительно сторон света называется их ориентированием.

Направление линии мы можем считать установленным, если известно направление этой линии относительно географического (истинного) меридиана.

Угол, отсчитанный от северного конца истинного меридиана до направления данной линии по ходу часовой стрелки, называется азимутом этой линии.

Рис. 4. Азимуты

Величина азимута может находиться в пределах от 0 до 360°.

На рис. 4 линия СЮ (север – юг) указывает направление меридиана, проходящего через точку О земной поверхности. Пусть от этой точки даны направления на точки М, К, Н и Р. Согласно данному рисунку, имеем: угол А _о-м есть истинный азимут линии ОМ; угол А _о-к - линии ОК; угол А _о-н - линии ОН; угол А _о-р - линии ОР.

В камеральных геодезических работах при применении тригонометрических функций удобнее для ориентирования линий применять острые углы. Такими углами являются румбы.

Румбом данной линии называется угол ориентирования, отсчитываемый от этой линии до ближайшего конца истинного меридиана. Румб изменяется от 0 до 90° и имеет наименование той четверти, в которой находится данное направление.

На рис.5 даны линии, идущие в разных четвертях, и показаны их румбы с соответствующими наименованиями.

Одну и ту же линию можно считать идущей как в одном, так и в противоположном направлении. Поэтому при определении азимута или румба какой - либо линии необходимо иметь в виду, о каком направлении идет речь. Отсюда следует, что прямой и обратный румбы одной и той же линии равны между собою, названия же румбов имеют различные буквы.

Рис. 5. Румбы

Так, если румб прямого направления именуется СЗ (северо - западный), то румб обратного направления будет именоваться ЮВ (юго-восточный).

Счет четвертей в геодезии идет в направлении по ходу часовой стрелки, т. е. в направлении, обратном общепринятому в математике. Так как азимуты отсчитываются в том же направлении,

что и четверти, то все формулы, выведенные в тригонометрии, применяются без всяких изменений в геодезии. Из рассмотрения рис.5 установим следующую связь между азимутами и румбами (табл.1).

Выведенные и помещенные в настоящую таблицу формулы показывают, что решение того или иного вопроса о переходе от азимута к румбу, и наоборот, легко сделать в уме. Для этого только надо ясно представить себе схему взаимного расположения стран света и положение линии в заданном направлении.

Таблица 1

Формулы для перехода от азимутов к румбам и обратно

Направление линии	Азимут А определяется по румбу r	Румб r определяется по азимуту А
СВ или в I четверти	А = r	r = А
ЮВ, II	А = 180° – r	r = 180° – А
ЮЗ, III	А = 180° + r	r = А – 180°
СЗ, IV	А = 360°– r	r = 360° – А

Имея азимуты или румбы двух направлений, выходящих из одной точки, можно легко найти угол между ними.

Магнитные полюсы Земли не совпадают с ее географическими полюсами, поэтому и направление магнитного меридиана для какой-либо точки земной поверхности не совпадает с направлением истинного меридиана данного места.

Угол отклонения оси магнитной стрелки от направления истинного (географического) меридиана, называется склонением магнитной стрелки и обозначается буквой d.

Отклонение северного конца магнитной стрелки от истинного меридиана (склонение) в одних местах земного шара наблюдается к востоку и называется восточным склонением, в других же, наоборот, к западу и называется западным склонением. Восточному склонению придается знак плюс, западному же склонению знак минус.

Для различных пунктов земной поверхности магнитное склонение не одинаково. Величина его как в восточном, так и западном направлениях может быть довольно значительной.

На территории нашей страны магнитное склонение находится в пределах от +25° (вдоль берегов Карского моря) до -13° (в Якутии). Для Москвы, например, склонение восточное - около +6°.

Так как практическое определение точного положения географического или истинного меридиана требует значительного времени и особых приемов измерений, ориентирование линий при производстве съемок с инженерными целями весьма часто производят по магнитному меридиану. В этом случае углами ориентирования будут магнитные азимуты и магнитные румбы.

Магнитным азимутом называется угол между северным концом магнитной стрелки и данным направлением линии, отсчитанный по ходу часовой стрелки.

Рис. 6. Магнитное склонение

Магнитным румбом называется угол между направлением линии и ближайшим концом магнитного меридиана (в пределах от 0 до 90°).

Если для данного пункта местности известно склонение магнитной стрелки, то переход от измеренных магнитных азимутов и румбов линий к истинным азимутам и румбам возможен исходя из следующих правил:

В случае восточного склонения (рис. 6, а) для перехода от магнитного азимута к азимуту истинному нужно к магнитному азимуту прибавить величину склонения (+ d)

А _ист = А _м + d,

где А _ист – азимут истинный;

А – магнитный азимут;

+ d – восточное склонение.

В случае западного склонения, что соответствует рис. 6, б, для получения истинного азимута по магнитному, из последнего нужно вычесть абсолютную величину склонения А _ист = А _м – d.

Обобщая оба случая в одно понятие, можно сказать, что для получения истинного азимута по магнитному нужно взять алгебраическую сумму магнитного азимута и склонения

А _ист = А _м + d,

где склонение d может быть как положительным (восточное склонение), так и отрицательным (западное склонение).

Решая последнее равенство относительно А _м, получим

А _м= А _ист – d.

Магнитный азимут равняется алгебраической разности между истинным азимутом и склонением.

Пусть, например, магнитный азимут линии равен 163°45^/. Склонение магнитной стрелки в данном пункте местности восточное6°30^/. Требуется определить азимут данной линии.

Восточное склонение положительно, т. е. d = + 6°30^/.

По формуле имеем

А _ист = А _м + d = 163°45^/ + 6°30^/ = 170°15^/.

Сближением меридианов называется угол между истинным азимутом и осевым меридианом.

Дирекционный угол - угол между северным направлением осевого меридиана и ориентируемым направлением.

Дата добавления: 2015-07-20