Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке X и f ¢¢(x) < 0 для всех x Î X, то график функции на X выпуклый, если f ¢¢(x) > 0, то график функции на X вогнутый.

Общая граничная точка промежутков выпуклости и вогнутости графика функции называется точкой перегиба этой функции (графика функции).

Если ─ точка перегиба графика функции , то выполняется одно из следующих условий:

1) ,

2) ,

3) не существует.

Но сама функция в точке в двух последних случаях должна быть непрерывной.

Достаточное условие точки перегиба.

Точка является точкой перегиба графика функции, если производная второго порядка при переходе через точку меняет знак.

Пример 12. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

Решение.

Производная второго порядка равна нулю в точке . Других точек, в которых равна 0, или не существует, нет.

На интервале (–¥; 3) график функции выпуклый, а на интервале (3; +¥) – вогнутый (f ¢¢(x) < 0). Точка x = 3; y = –2· e ³ является точкой перегиба графика функции.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

Решение.

Производная второго порядка равна в точке . Сама функция в этой точке непрерывна.

В интервале график функции выпуклый (), а в интервале график функции вогнутый (). Точка (3; 1) является точкой перегиба графика функции.

Пример 14. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Производная второго порядка

равна нулю в точке , равна в точке , не существует в точке (f ¢¢(1–0) = 4, f ¢¢(1+0) = –4, f ¢¢(1–0) ≠ f ¢¢(1+0))

Точки x = 0, x = 1, x = 3, являются такими точками, при переходе через которые вторая производная может изменить знак. Установим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

	(–¥; 0)	(0; 1)	(1; 3)	(3; +¥)
	+	+	─	+
	Вогнутая	Вогнутая	Выпуклая	Вогнутая

Точка не может быть точкой перегиба, так как в ней функция не определена.

При x = 1 вторая производная не существует, но сама функция непрерывна в ней. Точка является точкой перегибаграфика функции, так как при переходе через точку вторая производная меняет знак.

Точка (3; 2/9) является точкой перегиба графика функции: при x = 3 вторая производная равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку.

Пример 15. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение.

Вторая производная функции в точке равна , но функция в этой точке непрерывна. Производная второго порядка отрицательна как при , так и при . Функция не имеет точек перегиба, так как является выпуклой на всей области определения.

Дата добавления: 2015-07-20