границы области деформирования; 2 - контуры сечений камер после деформирования.

Метод конечных элементов также является вариационным методом, но, в отличие от вариационно-разностного метода, в его основу положен принцип возможного изменения сил в узлах. Условию совместности деформаций отвечает минимум дополнительной работы, которая получается как произведение сил на перемещения узлов (принцип Кастельяно).

Достоинствами метода конечных элементов являются:

* простота получения конечных решений;

* возможность сгущения сети элементов в ожидаемых местах высоких градиентов исследуемого параметра (напряжений или деформаций);

* возможности задания граничных условий в перемещениях или усилиях по какому-либо закону их распространения;

* принципиальная возможность задания в любом элементе модели упругих констант среды, моделирования любой последовательности образования отработанных пространств, схем нагружения модели и т.д.

При применении метода конечных элементов область, напряженно-деформированное состояние которой необходимо определить, представляется в виде совокупности дискретных элементов - плоских или пространственных элементов типа стержневых или рамных конструкций. При этом в отличие от метода конечных разностей, соблюдается ясная физическая трактовка решаемых задач. Вместе с тем необходимость определения свойств каждого элемента в отдельности дает возможность учитывать неоднородность свойств деформируемой области, а также рассчитывать области сколь угодно сложной конфигурации, без принципиальных изменений путей решения. В частности, метод конечных элементов успешно применяют для расчетов напряженного состояния плотин, откосов и их оснований.

Метод конечных элементов позволяет оперировать с элементами различной формы. Однако, для практических задач наиболее удобными оказались треугольные элементы, позволяющие легко оконтуривать расчётные области и сгущать сетку в местах ожидаемых концентраций напряжений или деформаций.

При этом конечному элементу приписываются следующие свойства:

n перемещения u и v, линейно зависящие от координат в пределах элемента, изменяются линейно вдоль любой прямой линии в элементе, т.е. прямые отрезки в недеформируемом элементе - в том числе и стороны элемента - остаются прямыми и после деформирования;

n деформации и напряжения линейно распределены по площади элемента и записываются относительно его центра тяжести.

Условие сплошности удовлетворяется тем, что в процессе деформирования элементы не теряют контакта друг с другом в узловых точках.

В методе конечных элементов предполагается, что все силы, действующие на тело, приложены в узлах, т. е. силовые взаимодействия между элементами осуществляются только в узловых точках. Например, деформирование элемента от формы 1 до формы 2 (рис. 13.3) обусловлено приложением со стороны соседних элементов (или внешних воздействий) узловых сил F_i, F_j и F_k, каждая из которых раскладывается на соответствующие составляющие по координатным осям.

Рис. 13.3. Схема деформирования элемента узловыми силами.

Для вывода зависимостей компонентов узловых сил от компонентов узловых перемещений используется принцип равенства работы узловых сил работе внутренних напряжений при бесконечно малых возможных перемещениях.

В конечном итоге, для всей расчётной области получают систему линейных уравнений, в которых выражены взаимосвязи между известными узловыми силами и неизвестными узловыми перемещениями.

На рис. 13.4 приведён пример расчёта величин напряжений методом конечных элементов для системы нескольких камер и целиков.

Рис. 13.4. Результаты расчёта величин напряжений методом конечных элементов для системы нескольких камер и целиков.

Метод конечных элементов практически без всяких изменений может быть применён и для моделей дискретных сред. С этой целью в обычную программу метода конечных элементов вводятся специальные контактные элементы, в частности, рассмотренные нами ранее элементы Гудмана-Беста, с соответствующими свойствами на контактах этих элементов.

К настоящему времени значительные успехи достигнуты в применении метода конечных элементов и для решения задач в нелинейной постановке, в частности для упруго-пластических и вязкопластических сред, а также для сред, не сопротивляющихся растяжению, и для сред с отдельными трещинами.

В отличие от метода конечных элементов в методе граничных элементов не вся расчётная область разбивается на элементы, а только её границы.

Идея метода граничных элементов заключается в следующем:

1. В использовании известных решений задач о распределении напряжений в плоскости (полупространстве для объемной задачи) от действия сосредоточенной (или равномерно распределенной на небольшом участке) силы.

2. В разбиении границы исследуемой области на конечное число интервалов (площадок), на которых действуют неизвестные силы.

3. В суммировании на каждом интервале границы влияний действия сил на всех остальных участках границы.

4. В приравнивании суммарных действий всех сил на каждом интервале к известным нормальным и касательным напряжениям, т.е. удовлетворении граничным условиям.

В результате этих действий получается замкнутая система 2n линейных алгебраических уравнений с 2n неизвестными силами, распределенными на интервалах границы.

После решения системы уравнений осуществляется расчет напряжений и деформаций в исследуемой области.

Общий алгоритм действий при решении задач о напряжённо-деформированном состоянии какой-либо области поясним на примере (рис. 13.5).

Рис.13.5. Схема к определению напряжённо-деформированного состояния области S c границей L методом граничных уравнений.

Область S, напряжённо-деформированное состояние которой необходимо определить, ограничена границей L. В пределах границы рассмотрим два интервала с центрами в точках i и j с координатами и , а также точку А, расположенную внутри исследуемой области с координатами относительно глобальной системы координат.

В точке А напряжения в локальной полярной системе координат от действия сил и , приложенных на j -м интервале j -й точки определяются уравнениями:

(13.2),

где ,

,

для плоскодеформированного состояния, для плосконапряженного состояния, - коэффициент Пуассона, - расстояние от центра j -го элемента до точки А, - углы, смысл которых ясен из рис.13.5

Переходя от локальных систем координат к глобальной и суммируя влияния действий сил в j –х точках границы на i –е точки границы, имеем систему уравнений:

(13.3).

Коэффициенты системы (13.3) выражаются через соответствующие величины , а - известные значения нормальных и касательных напряжений на i -м интервале границы.

После решения системы алгебраических уравнений и нахождения неизвестных сил и расчет напряжений в исследуемой области осуществляется по формулам, аналогичным (13.2) с учетом суммирования влияний всех граничных элементов на данную точку области.

Современные программы определения напряжённо-деформированного состояния каких-либо объектов с помощью численных методов представляют собой уже не просто методы расчёта напряжений и деформаций, а по существу аппарат математического моделирования процессов, протекающих в исследуемых объектах. В частности, применительно к процессам геомеханики в этих программах величины вычисляемых напряжений автоматически проверяются на соответствие условиям равновесия и неразрывности в случае сплошной среды или другим условиям для дискретных моделей, они также автоматически сопоставляются с прочностными параметрами среды. Таким образом, инженеру уже нет нужды самому анализировать поля напряжений, да и информация о них становится излишней. Совершенные программные системы позволяют обеспечить не только получение практически конечной информацией о состоянии тех или иных участков расчётной области в соответствующем графическом виде, но и предоставить пользователю ряд рекомендаций по отбору технических мероприятий для обеспечения устойчивого состояния выработок или снижению риска возникновения опасных проявлений горного давления.

---

Дата добавления: 2015-07-20