Пример решения задачи 13.

Запишем комплексные числа в трех формах: алгебраической, показательной, тригонометрической и построим их на комплексной плоскости

1) Представим все множители комплексного числа c₁ в показательной форме:

тогда показательная форма комплексного числа имеет вид

С учетом формулы Эйлера, переходим к тригонометорической форме числа:

Алгебраическая форма комплексного числа получается, если вычислить полученные значения тригонометрических функций:

Построим комплексное число на комплексной плоскости, учитывая, что

Замечание. Отметим здесь, что двойная черта означает двукратное применение операции комплексного сопряжения. В силу свойства инволюции операции, имеем

2) Вычислим тригонометрические функции комплексного числа с_2, при этом алгебраическая форма числа с₂ принимает вид:

Построим на комплексной плоскости полученное число:

Из рисунка следует, что

Показательная форма комплексного число с₂ в этом случае принимает вид:

С учетом формулы Эйлера получим тригонометрическую форму комплексного числа с₂:

3) Представим все множители комплексного числа с₃ в показательной форме

после чего число с₃ представляется в показательной форме и на комплексной плоскости представляется вектором:

,

причем,

С учетом формулы Эйлера получаем тригонометрическую форму комплексного числа

4) Представляя комплексное число (в скобках) в показательной форме, получаем

показательную форму комплексного числа с₄ и его графическое представление_:

Соответствующую тригонометрическую форму комплексного числа получаем с учетом формулы Эйлера:

Вычисляя значения тригонометрических функций, получаем алгебраическую форму числа с₄ :

.

5) Представляя комплексное число (подкоренное выражение) в показательной форме, получаем восемь различных корней, соответствующих числу с₅ и их графическое представление (с учетом того, что углы между соседними векторами равны 2 π / 8 = π / 4, а один из восьми векторов, например, с₅₀ легко может быть получен)_:

.

Остальные семь векторов с₅ могут быть представлены в показательной форме:

Тригонометрическая форма и алгебраическая формы всех корней также как и выше могут быть найдены с использованием формулы Эйлера.

6) Вектор с₆ (см. Рисунок) совпадает с аналогичным вектором с₄., рассмотренным выше.

---

Дата добавления: 2015-07-26