Томографические алгоритмы

Известны несколько тысяч алгоритмов, применяемых для задач вычислительной (реконструктивной) томографии. Их можно объединить в несколько больших основных групп.

Со времён Абеля, Радона, Вайнштейна применялись алгоритмы аналитического обратного преобразования. Математической особенностью этих задач является то, что они принадлежат классу некорректно по Адамару поставленных задач, как правило, родственных интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А. Н. Тихонова, развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Тананой и многими др.

Для осесимметричных систем применяют непосредственно обратное преобразование Абеля. Его дискретная версия впервые была применена Ван-Циттертом для задачи разрешения сверх предела Рэлея.

Для 2-мерных систем, описываемых 2-мя разделяющимися переменными, применяют элементарное преобразование Агравала и Содха. Для систем с известной группой симметрии теорема Вайнштейна указывает наименьшее число проекций, достаточных для точной реконструкции системы.

С 40-х годов (Тихонов и др.) томографические задачи для 2- и 3-мерных объектов поддаются решению численными методами. Численная дискретная модель системы интегральных уравнений сводится, в конечном итоге, как правило, к особенной (недоопределённой либо, напротив, переопределённой и несовместной) системе линейных уравнений большого размера, причём с размерностью от 3-х и 4-х (для 2-мерной томографии) до 5- и 6-мерной (для 3-мерной томографии). В экспериментальной ядерной физике и физике пучков заряженных частиц известна 4-мерная томография (Sandia Nat.Lab., Broockhaiwen Nat.Lab., CERN, Исследовательский центр им. М. В. Келдыша, МФТИ и др.).

Таким образом, решение таких систем классическими «точными» методами (Гаусса-Жордана и т. п.) нереально вследствие кубически по числу элементов объекта =N^M, где N — характерный линейный размер объекта, M — размерность, больших вычислительных затрат (что доказано теоремой Клюева — Коковкина — Щербака). Например, для 2-мерных задач порядка 100х100 потребуется порядка 1 трлн операций с накоплением погрешностей округления, а для 3-мерных 100х100х100 — порядка 10¹⁸ операций, что соответствует времени порядка 1 часа счёта на рекордных современных в мире многопетафлопных супер-ЭВМ. Итак, класс 1 вычислительно неудовлетворителен.

Для их решения применяют 3 иных класса алгоритмов.

Класс 2. Безытерационное обратное преобразование разложения проекций по ортогональным функциям (Фурье, Чебышёва, Котельникова, Хартли, Уолша, Радемахера и др.).

Класс 3. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными методами многомерного поиска — спуска, Монте-Карло и др.

Класс 4. Регуляризация по Тихонову (или без неё до заранее оцененного предела сверхразрешения Косарева) в сочетании с итерационными проекционными алгоритмами. Все проекционные алгоритмы базируются на теореме математика Банаха (г. Львов) о сжимающих отображениях. Важным их достоинством является гарантированная и устойчивая сходимость итераций. Ещё более важным их достоинством для многомерной томографии является радикально более низкая вычислительная трудоёмкость — квадратичная по N**M. Для вышеуказанных параметров объекта в 2-мерном случае это пропорционально 100 млн операций и числу итераций, то есть порядка 1 часа счёта на рядовой современной ПЭВМ (для итераций первого порядка) и порядка 1 сек. для итераций второго порядка. В 3-мерном случае (100х100х100) это пропорционально 1 трлн операций и числу итераций, то есть порядка 1 сек. (если первого порядка) или порядка 1 миллисекунды (если второго порядка) на супер-ЭВМ.

Первые технические и биологические вычислительные интроскопы-томографы в СССР (40-е — 50-е гг.) и первые медицинские вычислительные томографы в США (70-е гг.) фактически использовали ряд версий метода польского математика Качмажа (1937 г.), в том числе советского математика И. А. Бочека (1953 г., МФТИ). Так, награждённые Нобелевской премией Кормак и Хаунсфилд использованный ими алгоритм Качмажа (обеспечивающий достижение точки наименьших квадратов) называли ART (1973 г.), алгоритм советского математика Тараско (обеспечивающий достижение точки максимума правдоподобия, 60-е гг., ФЭИ, г. Обнинск) они назвали MART, также они использовали алгоритм японского математика Куино Танабе (1972 г.), являющийся релаксационной и сверхрелаксационной версией алгоритма Качмажа. Часто используется алгоритм Фридена (обеспечивающий достижение точки максимума энтропии). Стохастические методы перебора уравнений в проекциях (первым из таких была стохастическая версия алгоритма И. А. Бочека, опубликованная в 1971 г.) позволяют избежать регулярных артефактов и значительно улучшить качество изображения.

Если для схем сканирования «тонкими лучами» система уравнений сравнительно хорошо обусловлена (следовательно, результат реконструкции мало чувствителен к неизбежным погрешностям измерений проекций), то для сканирования «толстыми лучами» (что характерно для задач ЯМР-томографии, УЗИ, ПЭТ, СВЧ-интроскопии Ощепкова, электротоковой томографии, система уравнений оказывается очень плохо обусловленной. Это приводит к резкому замедлению приближения итераций вышеупомянутых проекционных методов к решению. Для решения таких систем используют методы А. В. Горшкова (МФТИ) и С. Елсакова (ЮУрГУ), отличающиеся нечувствительностью к плохой обусловленности решаемых систем уравнений, а также, за счёт необходимого стохастического перебора уравнений в них, отсутствием регулярных артефактов, и, наконец, скоростью сходимости (в практических задачах) на 2-3 порядка большей, чем указанные ранее.

Для нелинейных уравнений и томографии объектов большой размерности (3-мерной в медицине, науке и технике, 4-, 5-, 6-мерной в ядерной физике и физике плазмы и пучков заряженных частиц, в ускорительной технике) эффективным методом решения являются варианты метода Монте-Карло в метрических пространствах большой размерности.

Алгоритм советского и российского математика А. А. Абрамова (МФТИ) одновременных сжимающих итерации к решению и итерации к ортогонализации обеспечивает гарантию устойчивой сходимости к решению и заодно весьма точную оценку погрешности и скорости реконструкции. Укажем, что в плохо обусловленных системах в качестве его элементарных итераций рекомендуются не итерации первого порядка (Качмажа-Бочека, Тараско, Фридена и т. п.), а второго порядка (Горшкова, Елсакова и др.), или даже (в случае необходимости, пока не встреченной в практических задачах) итерации 3-го или большего порядков.

Заметим, что не следует без необходимости использовать итерации слишком высоких порядков, так как вычислительные затраты на них при неограниченном увеличении порядка итерации стремятся к кубическим (по N**M) (как у прямого обращения Гаусса-Жордана).

Для решения вычислительных задач синфазных УЗ-, СВЧ-, СБММ- и электропотенциальной томографии используют алгоритм академика Лаврентьева.

1. ↑ Юрий Ерин Создана четырехмерная электронная томография (рус.). Элементы.ру (2 августа 2010). Проверено 3 августа 2010.

2. ↑ Oh-Hoon Kwon, Ahmed H. Zewail 4D Electron Tomography (англ.) // Science. — 2010. — Т. 328. — № 5986. — С. 1668—1673.

Литература

· A. C. Kak, M. Slaney Principles of Computerized Tomographic imaging. (IEEE Press, NY 1988)

· Хорнак Дж. П. Основы МРТ (1996—1999)

· Cormack A.M. Early two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — p. 551—563

· Hounsfield G.N. Computed Medical Imaging // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971—1980. — World Scientific Publishing Co., 1992. — p. 568—586

· Lauterbur P.C. All science is interdisciplinary — from magnetic moments to molecules to men // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — p. 245—251

· Mansfield P. Snap-shot MRI // Les Prix Nobel. The Nobel Prizes 2003. — Nobel Foundation, 2004. — p. 266—283

· Мэнсфилд П. Быстрая магнитно-резонансная томография // Успехи физических наук, 2005, т. 175, № 10, с. 1044—1052 (перевод на русский)

· [http://www.lib.vsu.ru/elib/texts/method/vsu/sep06184.pdf Дьячкова С. Я., Николаевский В. А. Рентгеноконтрастные средства. — Воронеж, 2006.

· Важенин А. В., Ваганов Н. В. Медицинско-физическое обеспечение лучевой терапии. — Челябинск, 2007.

· Левин Г. Г., Вишняков Г. Н. Оптическая томография. — М.: Радио и связь, 1989. — 224 с.

· Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 160 с.

· Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 232 с.

· Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. — М.: Мир, 1990. — 288 с.

· Васильев М. Н., Горшков А. В. Аппаратно-программный комплекс GEMMA и томографический метод измерения многомерных функций распределения в траекторном и фазовом пространствах при диагностике пучков заряженных частиц. // Приборы и техника эксперимента. — 1994. № 5. — С.79-94. // Перевод на англ.: Instruments and Experimental Techniques. — V.37. № 5. Part 1. 1994. -P.581-591.

· Горшков А. В. Пакет программ REIMAGE для существенного улучшения разрешения изображений при обработке данных физического эксперимента и метод нахождения неизвестной аппаратной функции. 26.01.94. // Приборы и техника эксперимента. — 1995. № 2. — С.68-78. // Перевод на англ.: Instruments and Experimental Techniques. — V.38. № 2. 1995. — P.185-191.

· Москалёв И. Н., Стефановский А. М. Диагностика плазмы с помощью открытых цилиндрических резонаторов. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

· Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. — М.: Мир, 1983. — 352 с.

· Горелова Л. Е. Нобелевская премия. Нобель, Мечников, Рентген. // Сайт ММА им. И. М. Сеченова.

· Группа Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики Сибирского отделения РАН

· Народный томограф: открытый проект

· Роль Томографии в диагностике инсульта, учебный фильм

Методы медицинской визуализации
Рентгенологические	Ангиография • Компьютерная томография • КТ-ангиография • Контрастная рентгенография • Линейная томография • Рентгеновская маммография • Рентгенография • Томосинтез • Флюорография •
Магнитно-резонансные	МР-томография (МРТ) • МР-спектроскопия • МР-ангиография •
Оптические (лазерные)	Однофотонная эмиссионная компьютерная томография (ОФЭКТ) • Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) • Флюорография •
Радионуклидные	Оптическая когерентная томография • Оптическая маммография • Оптическая томография • Оптическая топография •
Ультразвуковые	Эхоэнцефалография • Эхокардиография • УЗИ ОБП • УЗИ почек • УЗИ ОМТ • УЗИ плода • УЗИ шеи • Допплерография •

Дата добавления: 2015-07-26