Графические методы кинематического анализа

Метод планов (рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма):

Построение кинематических схем (планов положений): Основная задача построения кинематических схем, заключается в том, чтобы изобразить на бумаге схему, дающую представление о кинематических и геометрических зависимостях отдельных звеньев механизма. Для этого нет необходимости изображать механизм отображая сложные конструктивные формы, достаточно изображение механизма в виде простейших линий, учитывая, что он составлен из жестких неизменяемых звеньев.

Кинематические схемы выполняются в масштабе (масштабном коэффициенте):

Построенный ряд последовательных планов положений механизма позволяет получить траектории движения точек звеньев механизма, а также их перемещения, рассмотрим последовательность построений для кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.9, а).

Разметка траекторий движения всех звеньев механизма осуществляется методом засечек. С этой целью угол поворота кривошипа разбивается 12 равных частей, и строятся текущие положения кривошипа О₁А _i (за начало отсчета удобней принять внешнее предельное положение кривошипа и шатуна соответствующее нижней мертвой точке ползуна). Из полученных точек А _i циркулем, расстояние, между ножками которого равно длине шатуна АВ в масштабе построения, делаются засечки на траектории движения ползуна (прямая ХХ), т.е. получаем текущие положения ползуна (точка В _i), соединив которые с соответствующими точками А _i, получают промежуточные положения шатуна. На плане положений механизма определяем текущие положения центров тяжести кривошипа и шатуна (точки S ₁ и S ₂).

Текущие значения перемещений ползуна можно определить из плана положений механизма, как расстояние от крайнего нижнего положения ползуна (точка В₀) до текущего положения (точки В _i) умноженное на масштаб построений.

Построение плана скоростей:

Построение планов скоростей и ускорений ведется в порядке присоединения групп Ассура к начальному механизму. Поскольку кривошипно-ползунный механизм имеет одну степень подвижности, то заданное движение входного звена (в данном случае кривошипа О₁А) определяет движение всех остальных звеньев. Т.к. звено О₁А совершает вращательное движение, то траекторией точки Аявляется окружность с центром в точке О₁. Вектор скорости точки А направлен по касательной к траектории движения, т.е. перпендикулярно радиусу О₁А, в сторону вращения кривошипа. Величина скорости определяется из выражения:

,

где w_{кр .} - угловая скорость кривошипа, рад/с; r – радиус кривошипа, м.

Известный по величине и направлению вектор скорости ` u_А строят в виде отрезка произвольной длины р _u а, из выбранного полюса р _u- плана скоростей (рис. 3.9, б). В этом случае масштаб плана скоростей:

, .

При определении скорости точки В следует отметить, что ползун совершает возвратно-поступательное движение, т.е. траекторией его движения является прямая линия, а вектор её скорости направлен параллельно линии перемещения. Т.к. точка В одновременно принадлежит и ползуну, и шатуну, то для дальнейшего построения плана скоростей следует воспользоваться векторным уравнением, выражающим связь между скоростями точек А и В шатуна:

,

где – вектор абсолютной скорости точки В; – вектор скорости переносного движения, скорости полюса в качестве которого принята точка А; – вектор относительной скорости точки В по отношению к точке А (вектор вращательной скорости точки В вокруг полюса – точки А).

Внимание: чтобы отложить любой вектор нужно знать его величину и направление, поэтому, здесь, и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор известный только по направлению, подчеркнут одной линией.

Рис. 3.9

В векторном равенстве две неизвестные величины: скорость u_В и относительная (вращательная) скорость u_ВА. Вектор абсолютной скорости направлен параллельно линии перемещения ползуна ХХ, а вектор относительной скорости – перпендикулярно радиусу вращения, т.е. перпендикулярно текущему положению шатуна АВ. Вектор переносной скорости (скорости полюса) на плане скоростей представлен отрезком р _u а, поэтому данное векторное равенство можно решить графическим путем.

Через точку а вектора р _u а проводят линию действия скорости u_ВА перпендикулярно АВ. Далее, в соответствии с векторным уравнением, через полюс плана скоростей р_u проводят линию действия скоростиu_В параллельно линии ХХ перемещения ползуна. На пересечении линий действия скоростей u_ВА иu_В находим точку в, расстояние от которой до полюса плана в масштабе и определяет величины скоростей, м/с:

; .

Зная относительную скорость точки В вокруг полюса точки А, можно определить угловую скорость шатуна, рад/с:

,

где u_ВА - м/с; l – длина шатуна, м.

Теорема подобия фигур для планов скоростей: фигуры на плане положений и на плане скоростей образованные векторами относительных скоростей подобны. Рассмотрим треугольники на плане положений D0₁АВ и на плане скоростей D р _u ав, они являются подобными как имеющими две стороны взаимно перпендикулярные друг другу и одну параллельную.

Для определения скоростей центров тяжести звеньев следует найти положения точек S ₁ и S ₂ на плане скоростей, воспользовавшись теоремой подобия составив соотношения:

и ,

т.е. абсолютная скорость .

Чтобы получить абсолютную скорость точки S ₂ следует соединить точку s ₂ с полюсом плана скоростей р _u, и тогда отрезок р _u s₂ определит в масштабе плана m _u скоростей абсолютную скорость центра тяжести шатуна. Истинное значение абсолютной скорости точки S ₂ определяем, м/с:

.

Построение плана ускорений:

Построение плана ускорений необходимо начать с вычисления и нанесения на план ускорения т. А кривошипа. В общем случае полное ускорение т. А складывается из нормального (центростремительного) и касательного ускорений:

.

Численное значение нормального ускорения определяют по формуле, м/с²:

.

Направлено это ускорение параллельно отрезку О₁А от точки А к центру вращения О₁.

Касательное ускорение определяется по формуле, м/с²:

,

где e_кр – угловое ускорение кривошипа, с^-2; r – длина кривошипа м.

Направлено ускорение перпендикулярно отрезку О₁А, либо по направлению вектора скорости ` u<sub>А</sub> (ускоренное вращение), либо против ` u_А (замедленное вращение).

Складывая геометрически нормальное и касательное ускорения, найдем полное ускорение точки А:

При равномерном вращении кривошипа (w_кр =const) его угловое ускорение , следовательно, полное ускорение точки А будет определяться только нормальной составляющей , имеющей численное значение:

,

Вычисленное нормальное ускорение изображаем на плане ускорений в виде отрезка р_аа произвольной длины, из выбранного полюса р_а плана ускорений так, чтобы он был параллелен текущему положению кривошипа О₁А и направлен от точки А к точке О₁ (рис. 3.9, в). Тогда масштаб плана ускорений:

, .

Далее переходят к определению ускорения точки В. В векторном виде:

,

где `а <sub>В</sub> – вектор полного ускорения точки В ползуна и шатуна; `а _А - вектор полного ускорения точки А кривошипа; `а _ВА - вектор относительного ускорения движения точки В шатуна по отношению к точке А кривошипа, которое можно разложить на нормальную () и касательную () составляющие, направления которых известны (вектор направлен параллельно положению шатуна АВ от точки В к точке А, вектор направлен перпендикулярно вектору нормального ускорения). При известной вращательной скорости точки В вокруг полюса А (u_ВА), численное значение нормального ускорения определяют по формуле, м/с²:

,

здесь u_ВА - в м/с; l – длина шатуна в м.

Чертежное значение длины вектора равно , мм.

Следовательно, векторное уравнение может быть решено графическим путём.

Через точку а проводят прямую, параллельную текущему положению шатуна А _i В _i, и откладываем на ней вектор в направлении от точки В _i к точке А _i. Затем через точку а ₁ проводят линию действия касательного ускорения, перпендикулярную данному положению шатуна. Из полюса плана ускорений р_а проводят линию действия полного ускорения точки В, параллельную линии ХХ перемещения ползуна. Расстояние от точки в, пересечения линий действия двух последних ускорений до полюса и точки а ₁ определяет в масштабе значения ускорений, м/с²:

; .

Соединив точки а и в вектором , получаем полное ускорение точки В в относительном движении по отношению к полюсу точке А, т.е.:

, м/с².

Для определения ускорений центров тяжести звеньев следует найти положения точек S ₁ и S ₂ на плане ускорений, воспользовавшись соотношениями:

и ,

Абсолютные значения ускорений центров тяжести звеньев, м/с²:

и .

Зная величину касательного ускорения , можно определить угловое ускорение шатуна, с^-2:

.

Чтобы определить, какое движение совершает шатун (ускоренное или замедленное), необходимо знать направление угловой скорости w₂ и углового ускорения e₂ в данный момент времени. Для этого векторы вращательной скорости `u_ВА с плана скоростей и касательного ускорения с плана ускорений переносятся параллельно в соответствующую точку В плана положений механизма. Их направление относительно точки А и определит направление угловых скорости и ускорения. Если направление угловой скорости совпадает с направлением углового ускорения, то движение шатуна будет ускоренным и наоборот.

Планы скоростей и ускорений построенные для данного положения механизма, дают возможность установить лишь значения мгновенных скоростей и ускорений различных точек звеньев механизма, в соответствующее время. Построение последовательных планов положений, скоростей и ускорений механизма позволяет получить кинематические диаграммы S = S(t), u = u(t), a = a (t) соответственно. Кинематические диаграммы строятся в прямоугольной системе координат: по оси абсцисс откладываем отрезок l – длина которого в масштабе m _t, принимается равным времени одного оборота (периода) начального звена.

Дата добавления: 2015-07-15