Теоретические сведения. ЗАНЯТИЕ 8. Функциональные ряды.

ЗАНЯТИЕ 8. Функциональные ряды.

План:

1. Понятие функционального ряда.
2. Область сходимости функционального ряда.

Теоретические сведения

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

(1)

Определение. Если при ряд (1) сходится, то называется точкой

сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений , при которых функциональный

ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма

является функцией от . Будем ее обозначать .

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

(2)

где – некоторые числа, называемые коэффициентами

степенного ряда.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

Областью сходимости степенного ряда:

(2)

является интервал , к которому в зависимости от конкретных

случаев могут быть присоединены точки и ,

где (если этот предел существует).

В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Определение. Интервал называется интервалом сходимости

степенного ряда, а половина его длины называется радиусом сходимости

степенного ряда.

Замечание. Всякий степенной ряд (2) сходится при .

Если других точек сходимости у ряда (2) нет, то считают, что .

Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают,

что .

Примеры. Найти область сходимости степенного ряда.

1.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: и

применим к нему признак Даламбера:

, , .

Ряд сходится, если или –это и есть интервал сходимости.

Исследуем концы этого интервала. При получаем

знакоположительный числовой ряд . Этот ряд расходится как

обобщенный гармонический ряд с . При получаем

знакочередующийся числовой ряд .

Применим к нему признак Лейбница.

1) > ,

2) , следовательно ряд сходится.

Областью сходимости данного ряда является промежуток ; .

2. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

и применим к нему признак Даламбера.

, ,

,

следовательно, областью сходимости данного ряда является одна точка

; .

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и

применим к нему признак Даламбера. , ,

при всех , следовательно,

областью сходимости данного ряда является промежуток ;

---

Дата добавления: 2015-07-17