Определение наличия тренда в исходном временном ряду

Общие сведения

Целью курсовой работы является исследование структуры временных рядов, моделирование тенденции временного ряда путем построения аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда y₁, y₂, …, y_n от времени, т.е. уравнения тренда. Временной ряд экономических показателей в общем случае можно разложить на три структурных элемента:

тренд T_t;

циклическую компоненту S_t;

случайную компоненту E_t, где t = 1, 2, …, n..

Под трендом T понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Циклическая компонента S_t отражает более или менее регулярные колебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. Тренд, сезонная и циклическая компоненты являются регулярными компонентами временного ряда. Часть временного ряда, остающаяся после выделения из него таких компонент, представляет собой случайную, нерегулярную составляющую E.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент Y=T+S+E, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент Y=T*S*E, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда.

В работе рассматриваются модели, в которых систематическая составляющая определяется, в основном, тенденцией и ставится задача идентификации трендовой составляющей временного ряда.

Выбор уравнения тренда, адекватно отражающей реальную зависимость уровней ряда от времени, предполагает выполнение следующих этапов, которые и представляют содержание данной работы.

Определение наличия тренда в исходном временном ряду

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяются различные методы: исследование автокорреляционной функции, критерий серий, критерий тренда. В работе рекомендуется использовать метод проверки разностей средних уровней, осуществляющий проверку стационарности исследуемого временного ряда. Реализация этого метода состоит из четырех этапов.

1.1. На первом этапе исходный временной ряд y₁, y₂, …, y_n разбивается на две, примерно, равные по числу уровней части: в первой – n ₁ первых уровней, во второй – n₂ остальных уровней исходного ряда. При этом следует отметить, что n₁ + n₂ = n.

1.2. На втором этапе для каждой из этих частей вычисляются средние значения и оценки дисперсии:

, , (1)

, . (2)

1.3. Третий этап заключается в проверке равенства дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении наблюдаемого значения этого критерия

s₁² / s₂², если s₁² > s₂²

F_набл. =

s₂² / s₁², если s₂² > s₁²

с критическим значением F _кр., которое определяется по таблицам Excel категории статистические: F _кр=FРАСПОБР(α, k₁, k₂), если s₁² > s₂² или F _кр=FРАСПОБР(α, k₂, k₁), если s₂² > s₁², где k₁ = n₁ –1, k₂ = n₂ –1, α – заданный уровень значимости. Если F _набл. < F _кр, то принимается гипотеза о равенстве дисперсий. В противном случае гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что тренда нет.

1.4. На четвертом этапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда по t-критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия Стьюдента определяется по следующей формуле:

, (3)

где .

Значение критерия t сравнивается с критическим t _кр, которое определяется по таблицам распределения Стьюдента по значению уровня значимости α и по числу степеней свободы k (k = n₁ + n₂ – 2). Если значение критерия t меньше t _кр, то принимается гипотеза о равенстве математических ожиданий, что говорит об отсутствии тренда. В противном случае, гипотеза о равенстве математических ожиданий отклоняется и делается вывод о наличии тренда.

2. Сглаживание временного ряд а

Поскольку реальные временные ряды, отражающие тенденции развития экономических явлений, всегда сопровождаются воздействием случайных составляющих, то для того, чтобы выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе и для целей прогнозирования хода развития процесса, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две группы:

механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней (метод укрупнения интервалов и метод скользящих средних);

аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отражала тенденцию изменения ряда и освобождала его от случайных колебаний.

В работе рекомендуется исследование аналитического выравнивания временного ряда, т.е. подбора аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени (тренда). Наиболее часто для моделирования этой зависимости используются полиномиальные, экспоненциальные, логарифмические, степенные кривые роста, вид которых приведен ниже:

- полином первой степени;

- полином второй степени;

- экспоненциальная кривая роста;

- логарифмическая кривая роста;

- степенная кривая роста.

.

На практике обычно отбирают две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели временного ряда. Выбор наилучшего уравнения можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

После выбора моделей роста необходимо определить их параметры. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, что сумма квадратов отклонения фактических уровней ряда y_t от соответствующих уровней ряда , полученных по кривой роста, была наименьшей, т. е:

.

Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени система нормальных уравнений имеет вид:

Параметры линейной регрессии (вида , ) могут быть определены следующим образом:

(4)

(5)

(6)

где - среднее значение произведения факторов x и y;

- среднее значение фактора x;

- среднее значение фактора y;

- среднее значение фактора x²;

- квадрат среднего значения фактора x;

- среднее квадратическое отклонение фактора x;

- среднее квадратическое отклонение фактора y.

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора-признака на одну единицу. Кроме того, в ряде случаев для удобства интерпретации параметра b используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака (в %) при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по следующей формуле:

. (7)

Параметр a может не иметь экономического смысла. Формально параметр a – значение фактора y при x =0. Если фактор-признак x не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра a не имеет смысла. Попытки экономически интерпретировать параметр a могут привести к абсурду, особенно при a < 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре a. Если a > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора x.

Выражения для нахождения линейного коэффициента корреляции:

(8)

(9)

где - среднее значение произведения факторов x и y;

- среднее значение фактора x;

- среднее значение фактора y;

n - размерность исследуемой выборки (количество наблюдений).

Величина коэффициента корреляции находится в пределах: и может принимать следующие значения:

если значение , то корреляция между исследуемыми факторами отсутствует (факторы некоррелированы);

если значение находится в пределах (0…0,3], то между исследуемыми факторами имеется слабая связь;

если значение находится в пределах (0,3…0,5], то между исследуемыми факторами имеется умеренная связь;

если значение находится в пределах (0,5…0,7], то между исследуемыми факторами имеется довольно устойчивая статистическая связь;

если значение > 0,7, то между исследуемыми факторами имеется сильная связь (статистически значимая связь, факторы сильно коррелированны);

если значение = 1, то между исследуемыми факторами имеется функциональная зависимость.

Выражение для определения корреляционного отношения (для моделей нелинейной регрессии):

(10)

где D_ост - остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии ;

, (11)

D_общ - общая дисперсия результативного признака y;

m – число параметров уравнения регрессии;

. (12)

Величина показателя η находится в пределах: .

Аналогичным образом можно получить систему для полинома второй и более степеней. Для определения параметров экспоненциальных и степенных кривых путем эквивалентных преобразованиями приводят их к полиномиальному виду, например, путем логарифмирования.

Методика расчета параметров тренда подробно рассмотрена в ходе выполнения лабораторных работ №№ 1, 2, 3.

Дата добавления: 2015-07-15