Читайте также:
|
|
9.
10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951
3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь
за допомогою степеневих рядів
Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.
Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.
Зразки розв’язування задач
1.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,
.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції
:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Тоді ,
.
2.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,
.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції
:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
,
;
,
.
Тоді ,
.
3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,
,
.
Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції
:
.
Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Тоді ,
.
4.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,
,
.
Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови (права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).
,
,
,
.
;
;
,
.
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної та отримаємо рекурентну послідовність рівностей:
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
,
.
Тоді шуканий ряд має вигляд
.
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
, де
.
5.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
,
,
.
Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.
,
,
.
;
;
,
.
Отримаємо рекурентну послідовність рівностей
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями
,
.
Тоді шуканий ряд має вигляд
.
Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді
.
Завдання для самостійної роботи
Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
1. ,
.
2. ,
,
.
Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші
3. ,
,
4. ,
,
Відповіді
1. .
2. .
3. ;
.
4. ;
.
Розділ 4
РЯДИ ФУР’Є
4.1. Основні формули
Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.
Період Парність | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Загального
вигляду
![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Парна
![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
Непарна
![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі відомі математичні формули та факти. Наведемо їх.
Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму
Важливі властивості тригонометричних функцій
Деякі формули інтегрування
4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій
Розглянемо деяку 2π -періодичну функцію , неперервну, або таку, що на відрізку
має скінчене число точок розриву першого роду.
Функціональний ряд виду , коефіцієнти якого обчислюються за формулами
,
,
,
називається рядом Фур’є функції . Цей ряд збігається для будь-якого значення
, у всіх точках неперервності функції сума ряду
, а в точках розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь функції
:
.
Якщо 2π -періодична функція f(x) є парною (), то вона розкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:
,
де
.
Непарна 2π - періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки за синусами:
,
де .
Зразки розв’язування задач
Побудувати ряд Фур’є для заданої функції
1. ,
;
.
,
тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд
.
Обчислимо коефіцієнти цього ряду.
;
;
.
Таким чином, ряд Фур’є має вигляд
.
2. ,
;
,
тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд
.
Обчислимо коефіцієнти ряду.
;
Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Ознака Даламбера. 3 страница | | | Ознака Даламбера. 5 страница |