Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ознака Даламбера. 4 страница

Читайте также:
  1. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 1 страница
  2. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 10 страница
  3. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 11 страница
  4. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 12 страница
  5. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 13 страница
  6. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 2 страница
  7. Administrative Law Review. 1983. № 2. P. 154. 3 страница

9.

10. 0,607 11. 8,246 12. 0,81 13. 0,157 14. 0,24951

 

3.2. Інтегрування диференціальних рівнянь

за допомогою степеневих рядів

 

Для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь розв’язок відповідної задачі Коші розшукують у вигляді розвинення в степеневий ряд в околі початкової точки , тобто будують ряд Тейлора або Маклорена, коефіцієнти якого обчислюють шляхом диференціювання.

Якщо диференціальне рівняння є лінійним, застосовується також метод невизначених коефіцієнтів, який дозволяє побудувати низку рекурентних формул, а іноді навіть знайти правило для обчислення будь-якого коефіцієнта ряду.

 

Зразки розв’язування задач

1.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

 

2.Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Тейлора для функції :

.

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

,

;

,

.

Тоді ,

.

 

3. Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

 

Запишемо шукане розвинення у степеневий ряд в околі початкової точки , тобто ряд Маклорена для функції :

.

 

Обчислимо за допомогою диференціального рівняння значення декількох похідних шуканої функції.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

 

Тоді ,

.

 

 

4.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

Запишемо шукане розвинення у вигляді ряду з невизначеними коефіцієнтами, знайдемо його похідні та підставимо ці ряди у диференціальне рівняння та початкові умови (права частина рівняння також повинна бути записаною у вигляді ряду).

,

,

,

.

 

;

;

,

.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної та отримаємо рекурентну послідовність рівностей:

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

, .

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

, де .

 

5.Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

, , .

 

Запишемо шукане розвинення, знайдемо його похідні та підставимо отримані ряди у диференціальне рівняння та початкові умови.

,

,

.

 

;

;

,

.

Отримаємо рекурентну послідовність рівностей

;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

Можна довести, що коефіцієнти ряду задаються залежностями

, .

Тоді шуканий ряд має вигляд

.

 

Легко помітити, що отриманий розв’язок може бути записаний у вигляді

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти перші три ненульові члени розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

 

1. , .

2. , , .

Знайти розвинення у степеневий ряд розв’язку задачі Коші

3. , ,

4. , ,

Відповіді

1. .

2. .

3. ; .

4. ; .

 

Розділ 4

РЯДИ ФУР’Є

 

4.1. Основні формули

Основні формули, за якими будуються розвинення в ряд Фур’є функцій та обчислюються коефіцієнти цих розвинень, наведені у вигляді таблиці.

 

Період Парність ; ;
Загального вигляду
Парна  
Непарна

 

У процесі обчислення коефіцієнтів Фур’є часто застосовуються деякі відомі математичні формули та факти. Наведемо їх.

 

Формули перетворення добутків тригонометричних формул в суму

Важливі властивості тригонометричних функцій

 

 

Деякі формули інтегрування

4.2.Розвинення в ряди Фур’є 2π-періодичних функцій

 

Розглянемо деяку -періодичну функцію , неперервну, або таку, що на відрізку має скінчене число точок розриву першого роду.

Функціональний ряд виду , коефіцієнти якого обчислюються за формулами

,

,

,

називається рядом Фур’є функції . Цей ряд збігається для будь-якого значення , у всіх точках неперервності функції сума ряду , а в точках розриву сума ряду дорівнює півсумі лівосторонньої та правосторонньої границь функції :

.

Якщо -періодична функція f(x) є парною (), то вона розкладається в ряд Фур’є тільки за косинусами:

,

де

.

Непарна - періодична функція f(x) розкладається в ряд Фур’є тільки за синусами:

,

де .

 

Зразки розв’язування задач

 

Побудувати ряд Фур’є для заданої функції

1. , ; .

,

тобто це функція загального виду, отже, ряд Фур’є цієї функції має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти цього ряду.

;

 

;

 

.

 

Таким чином, ряд Фур’є має вигляд

.

 

2. , ;

,

тобто функція є парною, а її ряд Фур’є має вигляд

.

Обчислимо коефіцієнти ряду.

 

;


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Розвиток особистості молодшого школяра. Потребово-мотиваційна сфера | Проблема кризи підліткового віку | Фізичний розвиток в юнацькому віці та його психологічні наслідки | Характеристика учбово-професійної діяльності як провідної у період ранньої юності | Розвиток пізнавальних процесів у старшокласників | Формування особистості старшокласника | Психологічні особливості вибору професії | Ознака Даламбера. | Ознака Даламбера. 1 страница | Ознака Даламбера. 2 страница |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ознака Даламбера. 3 страница| Ознака Даламбера. 5 страница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.035 сек.)