Ознака Даламбера. 1 страница

Функціональний ряд є абсолютно збіжним для тих значень аргументу х, для яких справджується нерівність

.

Якщо , ряд є розбіжним, а поведінка функціонального ряду при тих значеннях аргументу, для яких , потребує окремого дослідження.

Ознака Коші.

Функціональний ряд є абсолютно збіжним для тих значень аргументу х, для яких справджується нерівність

.

Якщо , ряд є розбіжним, а поведінка функціонального ряду при тих значеннях аргументу, для яких , потребує окремого дослідження.

Функціональний ряд вигляду , називається степеневим, а числа , , ,... ,... – коєфіцієнтами цього ряду.

Якщо , степеневий ряд має вигляд .

Для будь-якого степеневого ряду існує таке число , що для розглядуваний ряд збігається, а для ряд є розбіжним. Інтервал називається інтервалом збіжності, а число – радіусом збіжності цього ряду.

Степеневий ряд є абсолютно збіжним для значень аргументу, які задовольняють умові , тобто інтервалом збіжності такого ряду буде .

Поведінка степеневого ряду на границях інтервалу збіжності потребує окремого дослідження.

Якщо серед коефіцієнтів ряду немає таких, що дорівнюють нулю, (тобто у ряді немає пропуску степенів), радіус збіжності обчислюється за формулами

або .

Якщо радіус збіжності є нескінченно великим, ряд збігається на всій множині дійсних чисел, а якщо , ряд буде збіжним тільки в одній точці (або ).

Якщо ряд побудовано з пропуском степенів, для визначення інтервалу збіжності використовують умови для функціонального ряду, тобто нерівності або .

Зразки розв’язування задач

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці .

.

Це знакододатний числовий ряд, який буде збіжним ().

Знайти інтервал збіжності ряду:

2.

Для даного ряду ; .

.

Інтервал збіжності ряду .

3.

Для даного ряду , , .

.

Інтервал збіжності ряду , або .

4.

Для даного ряду , , .

.

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

5.

Для даного ряду , , .

Таким чином, ряд буде збіжним, якщо .

6.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Таким чином, інтервалом збіжності ряду буде .

7.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Коші:

;

.

Нерівність справджується для будь-якого значення , отже, ряд буде збіжним для .

8.

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, лише якщо , отже, ряд буде збіжним тільки для .

Знайти область збіжності степеневого ряду.

9.

Для заданого ряду , .

.

Інтервал збіжності ряду задається умовою . Дослідимо поведінку ряду на границях цього інтервалу.

: .

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним , отже, степеневий ряд при розбігається.

: .

Це ряд Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

Таким чином, областю збіжності досліджуваного ряду є .

10.

Якщо необхідно дослідити поведінку ряду за степенями на границях інтервалу збіжності, доцільно ввести допоміжну змінну та розшукувати область збіжності отриманого ряду за новою змінною.

; .

Це ряд з пропуском степенів, тому скористаємося ознакою Даламбера:

, ;

.

Нерівність справджується, якщо

.

Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу збіжності.

, .

Гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд розбігається при .

, .

Гармонічний ряд є розбіжним, отже, степеневий ряд розбігається при .

Таким чином, область збіжності ряду задається умовою

, або , .

11.

Введемо нову змінну та знайдемо область збіжності отриманого ряду .

Для цього ряду , .

.

Інтервалом збіжності допоміжного ряду буде . Дослідимо поведінку ряду на границях інтервалу.

, .

Це ряд Лейбніца. Перевіримо, чи виконуються умови відповідної теореми.

1) ;

2) , , , …

, .

За теоремою Лейбніца ряд є збіжним, тобто при степеневий ряд збігається.

, .

Узагальнений гармонічний ряд є розбіжним , отже, степеневий ряд при розбігається.

Таким чином, область збіжності допоміжного ряду відповідає умові .

Тоді область збіжності основного ряду задається нерівністю

; .

Отже, область збіжності заданого ряду – це проміжок .

Завдання для самостійної роботи

1. З’ясувати, чи буде степеневий ряд збігатися у точці .

Знайти інтервал збіжності ряду:

2. ; 3. ; 4. ;

5 ; 6. .

Знайти область збіжності ряду:

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19 ; 20. .

Відповіді.

1. Ряд збігається за ознакою Лейбніца.

2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

2.2. Розвинення функцій у степеневі ряди

Якщо функція має в точці похідні будь-якого порядку, цій функції відповідає ряд Тейлора

=

.

Степеневий ряд у околі точки має назву ряду Маклорена:

=

.

Наведемо розвинення у ряд Маклорена деяких елементарних функцій та вкажемо інтервали збіжності цих рядів (у точках, що належать інтервалам збіжності, ряди збігаються до значень відповідних функцій у цих точках).

; .

; .

; .

; .

; .

; .

; .

Степеневі ряди мають такі важливі властивості:

а) степеневий ряд можна почленно інтегрувати, якщо проміжок інтегрування належить області збіжності ряду;

б) степеневий ряд можна почленно диференціювати у точках, що належать інтервалу збіжності.

Зразки розв’язування задач

1.Знайти перші два ненульові члени розвинення у ряд Маклорена функції .

Ряд Маклорена має вигляд

.

Обчислимо значення заданої функції та декількох її перших похідних при .

, ;

, ;

, ;

,

.

Тоді розвинення функції має вигляд

,

.

2. Розвинути у ряд Тейлора в околі точки поліном .

Розвинення у ряд Тейлора полінома буде мати скінченну кількість ненульових членів.

Дата добавления: 2015-07-17